\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
v_{n+1}-v_n & = \frac{1}{u_{n+1}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{2u_n}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{1}{\tfrac{2u_n-1}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{4u_n}{2u_n-1}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{2u_n}{u_n-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = \frac{2\left(u_n-\tfrac{1}{2}\right)}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\
& = 2.
\end{aligned}$

\columnbreak

La suite \suite{v}{n}{} est donc arithmétique de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{5}$ et de raison $r=2$.
\end{multicols}


\item D'après ce qui précède, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ car $r>0$ d'où :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}=+\infty\;,\]
ce qui signifie que :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-\frac{1}{2}\right)=0. \]
D'où :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{2}} \]
\end{enumerate}