\begin{enumerate}
\item On trouve :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $u_1=-0,5$
\item $u_2=0,75$
\item $u_3=3,375$
\item $u_4=6,6875$
\item $u_5=10,34375$
\item $u_6=14,171875$
\item $u_7=18,0859375$
\item $u_8=22,04296875$
\item $u_9=26,021484375$
\end{itemize}
\end{multicols}
\uline{On peut alors conjecturer que \suite{u}{n}{} est strictement croissante à partir de $n=1$.}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & =u_{n+1}-4(n+1)+10\\
& = \dfrac{1}{2}u_n+2n-1-4n-4+10\\
& = \dfrac{1}{2}u_n-2n+5\\
& = \dfrac{1}{2}\left(u_n-4n+10\right)\\
& = \dfrac{1}{2}v_n\;.
\end{aligned}$\\
On déduit alors que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme\linebreak $v_0=u_0-4\times0+10=11$.

\item On a alors : $v_n=11\times\dfrac{1}{2^n}$ et donc :
\[ u_n=v_n+4n-10=\dfrac{11}{2^n}+4n-10.\]

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{11}{2^n}+4n-10\right)\\
& = 11\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{2^k}+4\sum_{k=0}^n k-10\sum_{k=0}^n 1\\
& = 11\left(\dfrac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}\right)+4\times\dfrac{n(n+1)}{2}-10(n+1)\\
& = 22\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)+2(n-5)(n+1).
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
