\exercice[style=R,N=3,verif]{Suite définie par  $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+2n-1$}

On définit la suite \suite{u}{n}{} pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2n-1
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les 10 premiers termes de cette suite à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.\\
Que peut-on conjecturer quant à la nature de \suite{u}{n}{}?
\item On pose $v_n=u_n-4n+10$.
\begin{enumerate}
\item Monter que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique que l'on caractérisera.
\item En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
\item On pose :
\[ S_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n.\]
Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}