\exercice[style=R,N=5,verif]{\'Etude générale des suites de la forme $u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)$}

On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0\in\R\\
u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)\quad,\qquad \forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]

où P est un polyn\^ome et où $\lambda\in\R*\setminus\{1\}$.

On pose alors la suite \suite{v}{n}{} définie par :
\[
v_n=u_n+\text{Q}(n),
\]

où Q est un polyn\^ome.

\begin{enumerate}
\item Montrer l'équivalence suivante :
\[
\suite{v}{n}{} \text{ est une suite géométrique} \Leftrightarrow \forall n\in\N,\ \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1).
\]
\hspace*{-3.2em}
On suppose maintenant que $\text{P}(n)=an+b$, $a$ et $b$ étant deux réels non nuls.

\medskip

\item Trouver, en fonction de $\lambda$, $a$ et $b$, l'expression du polyn\^ome Q.

\item En déduire, en fonction de $\lambda$, $u_0$, $a$, $b$ et $n$, une expression de $v_n$, puis de $u_n$.

\item Application : déterminer l'expression du terme général de la suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n-3n+7$.\\
Vérifier la formule trouvée pour les premiers termes de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}