\begin{enumerate}
\item Pour que \suite{v}{n}{} soit géométrique de raison $q$, il faut que, pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &=qv_n\\
\iff\ \frac{1}{2}u_n-\frac{2}{3}+\lambda & =q\left(u_n+\lambda\right)\\
\iff\ \frac{1}{2}\left(u_n-\frac{4}{3}+2\lambda\right) & =q\left(u_n+\lambda\right).
\end{align*}

Ainsi, il faut que $q=\dfrac{1}{2}$ et que $-\dfrac{4}{3}+2\lambda=\lambda$, soit $\boxed{\lambda=\dfrac{4}{3}}$.

\item \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$, donc elle converge vers $0$ (car sa raison est strictement comprise entre 0 et 1).

\medskip

Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(u_n+\dfrac{4}{3}\right)=0$, ce qui signifie que $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\dfrac{4}{3}}$.
\end{enumerate}