
Pour tout entier naturel $n\neq0$, on a :
\[ -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 \]
Ainsi, on a :
\begin{align*}
& n-1 \leqslant n+\cos(n)\leqslant n+1\\[6pt]
\iff & \frac{n-1}{n^2}\leqslant\frac{n+\cos(n)}{n^2}\leqslant\frac{n+1}{n^2}
\end{align*}
De plus, \[
\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
De même, \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n^2}=0\]
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0} \]