\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $T_{1}$ et $P_{1}$ étant équiprobables,  $\uline{p\left(T_{1}\right) =  p\left(P_{1}\right) = 0,5}.$

D'après l'énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à $\uline{p_{P_{1}}\left(T_{2}\right) = 1 - 0,8 = 0,2}$.

Toujours d'après l'énoncé $\uline{p_{T_{1}}\left(T_{2}\right) = 0,3}$.

		\item  D'après la formule des probabilités totales :

$p\left(T_{2}\right) = p\left(T_{1} \cap T_{2}\right) + p\left(P_{1} \cap T_{2}\right) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = \dfrac{1}{4}.$

		\item  L'arbre est le suivant :
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$1-u_n$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$0,3$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$0,7$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$0,2$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$0,8$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
		\item Toujours d'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
u_{n+1} &= p\left(T_{n+1}\right)\\
& = p\left(T_{n} \cap T_{n+1}\right) +  p\left(P_{n} \cap T_{n+1} \right) \\
&= u_{n} \times 0,3 + \left(1 - u_{n}\right) \times 0,2\\
& = 0,3u_{n} + 0,2 - 0,2u_{n}\\
& = 0,1u_{n} + 0,2.
\end{align*}
		\item La calculatrice donne $u_{1} = 0,5\:;\:u_{2} = 0,25\:;\:u_{3} = 0,225\:;\:u_{4} = 0,225\:;\:u_{5} = 0,2225$.

Il semble que $u_{n}$ ait pour limite $0,222\ldots$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $\begin{aligned}[t]
		v_{n+1} &= u_{n+1} - \dfrac{2}{9}\\
		& = 0,1u_{n} + 0,2 - \dfrac{2}{9}\\
		& = \dfrac{1}{10}u_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{9}\\
		& = \dfrac{1}{10}u_{n} -  \dfrac{1}{45}\\
		& = \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - \dfrac{2}{9} \right)\\
		& = \dfrac{1}{10}v_{n}.
		\end{aligned}$

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ ; son premier terme est :
\[
v_{1} = u_{1} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}.
\]
		\item On sait que $v_{n} = v_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.

Comme $u_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{9}$, on a $u_{n} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.  
		\item Comme $0 < \dfrac{1}{10}< 1,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_{n} = \dfrac{2}{9}$.

Or $\dfrac{2}{9} = 0,222 \ldots$ ce qui valide la conjecture  faite à la question 1. e.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}