\exercice[style=R,N=4,verif]{Des suites dans les probabilités}

Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

 Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
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Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement : 
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
On considère alors la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} définie par : 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'événement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right)$, $p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right)$, $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
		\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 
		
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
		\item Démontrer que pour tout entier $n~\geqslant~1, u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1.e. ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
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