\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
a_{n+1} & = p_1(\alpha u_n+\beta v_n)+q_1(\lambda u_n+\mu v_n)\\
& = (\alpha p_1+\lambda q_1)u_n+(\beta p_1+\mu q_1)v_n\;.
\end{aligned}$

Pour que \suite{a}{n}{} soit constante, il faut que $a_{n+1}=a_n$, soit :
\begin{align*}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\alpha p_1+\lambda q_1 =1 & \times\mu\\
\beta p_1+\mu q_1=1 & \times\lambda
\end{array}
\right. & \iff\ (L_1)-(L_2)\;:\; (\alpha\mu-\beta\lambda)p_1=\mu-\lambda\\
& \iff\ p_1=\dfrac{\mu-\lambda}{\alpha\mu-\beta\lambda}.
\end{align*}
De m\^eme, 
\begin{align*}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\alpha p_1+\lambda q_1 =1 & \times\beta\\
\beta p_1+\mu q_1=1 & \times\alpha
\end{array}
\right. & \iff\ (L_1)-(L_2)\;:\; (\alpha\mu-\beta\lambda)q_1=\alpha-\beta\\
& \iff\ p_1=\dfrac{\alpha-\beta}{\alpha\mu-\beta\lambda}.
\end{align*}

\item % Q2
\begin{enumerate}
\item % (a)
$\begin{aligned}[t]
b_{n+1} & = (\alpha p_2+\lambda q_2)u_n+(\beta p_2+\mu q_2)v_n\\
& = \dfrac{\alpha p_2+\lambda q_2}{p_2}\left(p_2 u_n + \dfrac{p_2(\beta p_2+\mu q_2)}{\alpha p_2+\lambda q_2}v_n \right)
\end{aligned}$

\medskip

Pour que \suite{b}{n}{} soit géométrique, il faut que :
\begin{align*}
\dfrac{p_2(\beta p_2+\mu q_2)}{\alpha p_2+\lambda q_2}=q_2 & \iff\ 
\dfrac{p_2}{q_2}=\dfrac{\alpha p_2+\lambda q_2}{(\beta p_2+\mu q_2)}.
\end{align*}

\item % (b)
$\begin{aligned}[t]
\dfrac{p_2}{q_2}=\dfrac{\alpha p_2+\lambda q_2}{(\beta p_2+\mu q_2)} & \iff\ \beta p_2^2+\mu p_2q_2=\alpha p_2q_2+\lambda q_2^2\\
& \iff\ \beta p_2^2+(\mu-\alpha)p_2q_2-\lambda q_2^2=0\\
& \iff\ p_2^2+\dfrac{\mu-\alpha}{\beta}p_2q_2-\dfrac{\lambda}{\beta}q_2^2=0\\
& \iff\ \left(p_2+\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}q_2\right)^2-\left(\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}\right)^2q_2^2-\dfrac{\lambda}{\beta}q_2^2=0\\
& \iff\ \left(p_2+\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}q_2\right)^2=\dfrac{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}{4\beta^2}q_2^2\\
\end{aligned}$

\item % (c)
De l'égalité précédente, on déduit :
\[
\left\vert p_2+\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}q_2\right\vert=\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}}{2|\beta|}\left\vert q_2\right\vert.
\]

On en déduit :

\[
p_2+\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}q_2=\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}}{2|\beta|}\left\vert q_2\right\vert
\]
ou
\[
-p_2-\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}q_2=\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}}{2|\beta|}\left\vert q_2\right\vert.
\]
Soit :
\[
p_2=\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}}{2|\beta|}\left\vert q_2\right\vert+\dfrac{\alpha-\mu}{2\beta}q_2
\]
ou
\[
p_2=-\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}}{2|\beta|}\left\vert q_2\right\vert+\dfrac{\alpha-\mu}{2\beta}q_2.
\]
On en déduit alors :
\[
p_2=\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}+\alpha-\mu}{2\beta}q_2\quad\text{ou}\quad p_2=\dfrac{-\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}+\alpha-\mu}{2\beta}q_2.
\]

\item % (d)
Si $p_2=q_2$, alors :
\begin{align*}
b_{n+1} & =p_2(u_{n+1}+v_{n+1})\\
& = p_2((\alpha+\lambda)u_n+(\beta+\mu)v_n)\\
& = p_2(\alpha+\lambda)\left(u_n+\dfrac{\beta+\mu}{\alpha+\lambda}\right).
\end{align*}
Pour que \suite{b}{n}{}soit géométrique, il faut donc que $\dfrac{\beta+\mu}{\alpha+\lambda}$, soit $\beta+\mu=\alpha+\lambda$.
\end{enumerate}

\item On prend $\alpha=0,6$, $\beta=0,3$, $\lambda=0,4$, $\mu=0,7$ et $q_2=-3$.\\
On trouve facilement $p_1=q_1=1$.\\
D'après la formule trouvée à la question $2.c.$, on trouve deux valeurs possibles pour $p_2$ : $-3$ ou 4.\\Or, la question $2.d.$ nous dit que si $q_2=p_2$, alors on doit avoir $\beta+\mu=\alpha+\lambda$, ce qui n'est pas le cas ici. \\
Donc $p_2=4$.\\
Finalement, on a :
\[
\forall n\in\N,\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\
v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n
\end{array}
\right.
\]
et
\[
\forall n\in\N,\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right. .
\]
\end{enumerate}