\exercice[style=R,N=5,verif]{\'Etude générale des suites imbriquées}

\textit{Dans cet exercice, par soucis de simplification des raisonnements, on admettra que toutes les fractions sont définies.}

\bigskip

On considère deux suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n} {} définies par leurs premiers termes $u_0$ et $v_0$ et par les relations de récurrences suivantes :
\[
\forall n\in\N,\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\alpha u_n+\beta v_n\\
v_{n+1}=\lambda u_n+\mu v_n
\end{array}
\right.\qquad,\qquad \alpha,\beta,\lambda,\mu\text{ étant 4 réels non nuls.}
\]

On pose alors :
\[
\forall n\in\N,\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=p_1 u_n+q_1 v_n\\
b_n=p_2 u_n+q_2 v_n
\end{array}
\right. .
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer l'équivalence suivante :
\[
\suite{a}{n}{}\text{est constante}\ \iff\ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
p_1=\dfrac{\mu-\lambda}{\alpha\mu-\beta\lambda}\\
q_1=\dfrac{\alpha-\beta}{\alpha\mu-\beta\lambda}
\end{array}
\right. .
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer l'équivalence suivante :
\[
\suite{b}{n}{}\text{est géométrique}\ \iff\ 
\dfrac{p_2}{q_2}=\dfrac{\alpha p_2+\lambda q_2}{\beta p_2+\mu q_2}\;.
\]

\item En déduire que \suite{b}{n}{} est géométrique équivaut à :
\[
\left(p_2+\dfrac{\mu-\alpha}{2\beta}q_2\right)^2=\dfrac{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}{4\beta^2}q_2^2\;.
\]

\hspace*{-2em}On suppose que $(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda\geqslant0$.

\medskip

\item En déduire que :
\[
p_2=\dfrac{\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}+\alpha-\mu}{2\beta}q_2\quad\text{ou}\quad p_2=\dfrac{-\sqrt{(\mu-\alpha)^2+4\beta\lambda}+\alpha-\mu}{2\beta}q_2.
\]

\item Montrer que si $p_2=q_2$, alors $\beta+\mu=\alpha+\lambda$.
\end{enumerate}

\item En prenant $\alpha=0,6$, $\beta=0,3$, $\lambda=0,4$ et $\mu=0,7$, déterminer la valeur de $p_1$, $q_1$ et $p_2$ sachant que l'on pose $q_2=-3$.
\end{enumerate}