\begin{enumerate}
\item Notons $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\alpha$.\\
Alors,
\[
u_{n+1}=f(u_n) \Rightarrow \limite{n}{+\infty}{u_{n+1}}=\limite{n}{+\infty}{f(u_n)}.
\]
Or, $f$ est continue donc $\limite{n}{+\infty}{f(u_n)}= f\left(\limite{n}{+\infty}{u_n}\right)=f(\alpha).$

Ainsi,
\[
\boxed{\alpha=f(\alpha)}
\]

\item $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$, $u_0=0,4$.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = u_n-u_n^2-u_n\\
& = -u_n^2\\
& \leqslant 0\text{ car un carré est toujours positif ou nul.}
\end{aligned}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ ; \underline{la suite \suite{u}{n}{} est donc décroissante.}

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=0,4$ donc $0\leqslant u_0 \leqslant 1$.

\item \textbf{Hérédité.}

On suppose que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.

$u_{n+1}=u_n(1-u_n)$ ; de plus, par hypothèse de récurrence, $0\leqslant u_n\leqslant 1$ et donc:
\[0\leqslant1-u_n\leqslant1.\]

Par produit, $0\leqslant u_n(1-u_n)\leqslant1$. Donc $0\leqslant u_{n+1}\leqslant1$.

L'hérédité est alors vérifiée : $u_n\Rightarrow u_{n+1}$.
\end{itemize}

\underline{Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.}

\item La suite \suite{u}{n}{}étant décroissante et minorée, elle converge. Sa limite $\alpha$ vérifie :
\begin{align*}
& \alpha = \alpha(1-\alpha)\\
\iff\ & \alpha = \alpha - \alpha^2\\
\iff\ & 0 = -\alpha^2\\
\iff\ & \alpha = 0
\end{align*}

\underline{Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=0$.}

\item Avec de telles hypothèses, la population de coccinelles tend à dispara\^itre.
\end{enumerate}

\item $u_{n+1}=1,8u_n(1-u_n)$, $u_0=0,3$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=1,8x(1-x)=1,8(x-x^2)$ donc $f'(x)=1,8(1-2x)$.

Donc $\begin{aligned}[t]
f'(x)\geqslant0 & \iff 1-2x \geqslant 0\\
& \iff 1 \geqslant 2x\\
& \iff x\leqslant\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

De plus, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1,8\times0,5\times1,5=0,45\in\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}$.

D'où le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\frac{1}{2}$,1}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/0,+/{0,45},-/0}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=0,3$ et $u_1=f(0,3)=1,8\times0,3\times0,7=0,378$.

Donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac{1}{2}$.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$.

La fonction $f$ étant croissante sur \intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}, 
\begin{align*}
& 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}
{2}\\
\iff\ & f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right)\\
\iff\ & 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac{1}{2}
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

Ainsi, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$

\item De la question précédente, on déduit que \suite{u}{n}{}est croissante ($u_{n+1}\geqslant u_n$) et majorée (par $\dfrac{1}{2}$) donc elle converge.

Sa limite $\alpha$ vérifie :
\begin{align*}
\alpha=f(\alpha) & \iff \alpha = 1,8\alpha(1-\alpha)\\
& \iff 1=1,8(1-\alpha)\qquad\text{car }\alpha\neq0\\
& \iff \dfrac{1}{1,8} = 1-\alpha\\
& \iff \alpha = 1-\dfrac{1}{1,8}\\
& \iff \alpha = \dfrac{4}{9}
\end{align*}

\underline{Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}\approx\numprint{0,444444444}$.}

\item On conclut de la question précédente qu'à long terme, la population de coccinelles se rapprochera de \numprint{4444444}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}