\exercice[style=A,N=3,verif]{Suite définie par  $u_{n+1}=ku_n(1-u_n)$}

On sait tous qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans !\\
On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique $f$ définie par : \[ f(x) = kx(1-x),\]
$k$ étant un paramètre réel qui dépend de l'environnement.\\
Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année $n$ par un nombre réel $u_n$ avec $u_n$ compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'année zéro il y a \numprint{300000} coccinelles, on prendra $u_0=0,3$.\\
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, $f$ étant la fonction définie ci-dessus.\\
Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la suite \suite{u}{n}{} pour différentes valeurs de la population initiale $u_0$ et du paramètre $k$. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que si la suite \suite{u}{n}{} définie précédemment converge vers $\alpha$, alors $\alpha$ vérifie la relation $f(\alpha)=\alpha$. 

\item Supposons $u_0 = 0,4$ et $k = 1$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variation de la suite \suite{u}{n}{}.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
\item La suite \suite{u}{n}{} est-elle convergente ? Si oui, quelle
est sa limite ?
\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ? 
\end{enumerate}

\item Supposons maintenant $u_0 = 0,3$ et $k = 1,8$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{1} et montrer que  $f\left(\frac{1}{2}\right)\in\intervFF{0}{\frac{1}{2}}$.
\item En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence, 
\begin{itemize}
\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{2}$ ;
\item établir que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$.
\end{itemize}

\item La suite \suite{u}{n}{} est-elle convergente ? Si oui, quelle
est sa limite  ?
\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
