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\exercice[style=R,N=4,verif]{Suite  \suite{\alpha}{n}{} de solution d'équations}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $\varphi~:~x\mapsto\dfrac{\ln\left(x^2+1\right)}{x}$.

\item Soit $n$ un entier naturel non nul, $n$ étant fixé pour cette question. On définit la fonction $f_n$ sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[
f_n(x)=2x-2+\frac{\ln\left(x^2+1\right)}{n}.
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f_n$ en $+\infty$.
\item Calculer la dérivée de $f_n$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item Dresser le tableau de variations de $f_n$.
\item En déduire que l'équation, d'inconnue $x$, $f_n(x)=0$ admet une unique solution $\alpha_n$ dans \intervFO{0}{+\infty}.
\item Justifier que $0<\alpha_n<1$.
\end{enumerate}
\item Prouver que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln\left(\alpha_n^2+ 1\right)=2n(1-\alpha_n)$.

En déduire que $f_{n+1}(\alpha_n)<0$.

\item \'Etude de la suite \suite{\alpha}{n}{n\in\N*}.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, proposer sans justification, des valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près de $\alpha_1$, $\alpha_4$ et $\alpha_{10}$.
\item Démontrer que la suite \suite{\alpha}{n}{} est croissante.
\item En déduire que la suite \suite{\alpha}{n}{} est convergente.
\item Déterminer la limite de la suite \suite{\alpha}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}