\begin{enumerate}
\item Faisons un bel arbre de probabilités pour nous aider :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\node (A0) at (0,0) {A$_0$};
\node (B1) at (2,2) {B$_1$};
\node (C1) at (2,-2) {C$_1$};
\draw (A0.east) -- (B1.west) node[midway,fill=white] {$\frac{1}{3}$};
\draw (A0.east) -- (C1.west) node[midway,fill=white] {$\frac{2}{3}$};
\node (A2) at (4,3.5) {A$_2$};
\node (C2) at (4,0.5) {C$_2$};
\draw (B1.east) -- (A2.west) node[midway,fill=white] {$\frac{1}{2}$};
\draw (B1.east) -- (C2.west) node[midway,fill=white] {$\frac{1}{2}$};
\node (C2b) at (4,-2) {C$_2$};
\draw (C1.east) -- (C2b.west) node[midway,fill=white] {$1$};
\node (B3) at (6,5.5) {B$_3$};
\node (C3) at (6,2.5) {C$_3$};
\node (C3b) at (6,0.5) {C$_3$};
\node (C3t) at (6,-2) {C$_3$};
\draw (A2.east) -- (B3.west) node[midway,fill=white] {$\frac{1}{3}$};
\draw (A2.east) -- (C3.west) node[midway,fill=white] {$\frac{2}{3}$};
\draw (C2.east) -- (C3b.west) node[midway,fill=white] {$1$};
\draw (C2b.east) -- (C3t.west) node[midway,fill=white] {$1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $a_1=\proba{A_1}=0$ ; $b_1=\dfrac{1}{2}$ et $c_1=\dfrac{2}{3}$ d'après l'énoncé.

$a_1+b_1+c_1=1$, ce qui est normal car la somme des probabilités d'événements formant une partition de l'univers est toujours égale à 1.

\item \`A l'instant $n=2$, la puce peut se trouver en A ou C car à l'instant $n=1$, elle se trouve en B ou C uniquement.

On a : 

\begin{itemize}
\item $a_2=\probacond{A_2}{B_1}\times\proba{B_1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$.

\item $b_2=0$.

\item $c_2=1\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
\end{itemize}


\item Pour $n=3$, la puce se trouve en B ou C.

\begin{itemize}
\item $a_3=0$.

\item $b_3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$.

\item $c_3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{17}{18}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On s'inspire de ce qui a été fait pour conjecturer que $a_{2k+1}=0$. En effet, pour les rangs impairs, la puce ne peut pas \^etre en A car pour les rangs pairs, elle se trouve en A ou C.

\item $b_{2k+1}=\probacond{B_{2k+1}}{A_{2k}}\times\proba{A_{2k}}=\dfrac{1}{3}a_{2k}$.

$a_{2k+2}=\probacond{A_{2k+2}}{B_{2k+1}}\times\proba{B_{2k+1}}=\dfrac{1}{2}b_{2k+1}$.

\item De la question précédente, on déduit :
\[
a_{2k+2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}a_{2k}=\dfrac{1}{6}a_{2k}.
\]
Donc:
\begin{align*}
a_{2k} & = \dfrac{1}{6}a_{2(k-1)}\\
& = \dfrac{1}{6^2}a_{2(k-2)}\\
& = \dfrac{1}{6^3}a_{2(k-3)}\\
& = \cdots\\
& = \dfrac{1}{6^k}a_{2(k-k)}\\
& = \dfrac{1}{6^k}a_0\\
\Aboxed{a_{2k} & = \dfrac{1}{6^k}}\quad\text{car }a_0=1. 
\end{align*}
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
a_n\leqslant10^{-6} & \Rightarrow a_{2k}\leqslant10^{-6}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{6^k}\leqslant10^{-6}\\
& \Rightarrow \ln\dfrac{1}{6^k}\leqslant\ln10^{-6}\\
& \Rightarrow k\ln\dfrac{1}{6}\leqslant-6\ln 10\\
& \Rightarrow k \geqslant\dfrac{-6\ln10}{-\ln6}\\
& \Rightarrow k \geqslant 8\\
& \Rightarrow n \geqslant 4
\end{aligned}$

\underline{Le plus petit entier $n$ tel que $a_n\leqslant10^{-6}$ est donc $n=4$.}

\item $\limite{k}{+\infty}{a_{2k}}=\limite{k}{+\infty}{\dfrac{1}{6^k}}=0$.

\underline{Donc \suite{a}{n}{} converge vers 0.}
\end{enumerate}
\newpage