\exercice[style=R,N=4,verif]{La puce (probabilités et suites)}

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. Soit $n$ un entier naturel. \`A l'instant initial $n=0$, la puce se trouve en A.

\begin{itemize}
\item  Si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en B avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{2}$, soit en C avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{3}$.

\item Si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable.

\item Si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste.
\end{itemize}

On désigne par A$_n$ (resp. B$_n$ et C$_n$) l'événement :\\ \og \`A l'instant $n$, la puce est en A (resp. B et C). \fg

On pose $a_n=\proba{A_n}$, $b_n=\proba{B_n}$, et $c_n=\proba{C_n}$.

On a donc $a_0=1$, $b_0=c_0=0$.

Pour traiter cet exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

\begin{enumerate}
\item \'Etude du mouvement pour $1\leqslant n \leqslant 3$.

\begin{enumerate}
\item Donner $a_1$ , $b_1$ et $c_1$. Calculer $a_1+b_1+c_1$.
\item \`A l'instant $n=2$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? Déterminer $a_2$, $b_2$ et $c_2$.
\item \`A l'instant $n=3$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? En déduire $a_3$. Calculer $b_3$ et vérifier que $c_3=\dfrac{17}{18}$.
\end{enumerate}

\item \'Etude du cas général.

\begin{enumerate}
\item Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l'instant $n$ lorsque l'entier $n$ est pair ($n=2k$ avec $k\in\N$), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l'entier $n$ est impair ($n=2k+1$ avec $k\in\N$).

En déduire (sans autre justification) la valeur de $a_{2k+1}$.

\item Démontrer que :
\[
\left\{
\begin{array}{l@{=}l}
b_{2k+1}&\dfrac{1}{3}a_{2k}\\[10pt]
a_{2k+2}&\dfrac{1}{2}b_{2k+1}
\end{array}
\right.
\]

\item Démontrer que pour tout entier naturel $k$, $a_{2k}=\dfrac{1}{6^k}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel N tel que :
\[
\forall n\in\N,\quad n\geqslant N \Rightarrow a_n\leqslant 10^{-6}.
\]

\item Montrer que la suite \suite{a}{n}{} est convergente et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}