
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $\R*_+$ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet ensemble.

On a : 
\[ f'(x)=-\e^{-x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]
Or, $\e^{-x}>0$ car une exponentielle est toujours strictement positive, donc $-\e^{-x}<0$ et $-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}<0$, donc $f'(x)<0$ sur $\R*_+$.

\medskip

\uline{Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.}

\item $f$ est continue sur $\R*_+$. De plus, $f(0)=1$ et $f(1)=\e^{-1}-1<0$ donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{0}{1}.

\item La formule qui donne l'équation réduite de la tangente en un point d'abscisse $a$ est :
\[ y=f'(a)(x-a)+f(a)\]
ce qui donne ici :
\begin{align*}
y & = \left(-\e^{-1}-\frac{1}{2}\right)(x-1)+\e^{-1}-1\\
& = \left(-\frac{1}{\e}-\frac{1}{2}\right)(x-1)+\frac{1}{\e}-\frac{\e}{\e}\\
& = -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)(x-1)+\frac{1-\e}{\e}\\
& = -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x+\frac{2+\e}{2\e}+\frac{2-2\e}{2\e}\\
\Aboxed{y & = -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x+\frac{4-\e}{2\e}}
\end{align*}

\item L'abscisse du point d'intersection de $(T_0)$ et de l'axe des abscisse se trouve en résolvant l'équation :
\begin{align*}
& -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x_1+\frac{4-\e}{2\e}=0\\
\Leftrightarrow\ & -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x_1=-\frac{4-\e}{2\e}\\
\Leftrightarrow\ &  x_1 = \frac{4-\e}{\cancel{2\e}}\times\frac{\cancel{2\e}}{2+\e}\\
\Leftrightarrow\ & \boxed{x_1 = \frac{4-\e}{2+\e}}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item Sur $\R*_+$, $-\e^{-x}<0$ et $-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}<0$ donc $f'(x)<0$ soit, en particulier, $f'(x)\neq0$.
\item Par définition, on a :
\[
(T_n)\; :\; y=f'(x_n)(x-x_n)+f(x_n)
\]
et en remplaçant $x$ par $x_{n+1}$, par définition toujours, on doit obtenir 0 :
\[
f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)+f(x_n)=0
\]
d'où :
\begin{align*}
& f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)=-f(x_n)\\
\Leftrightarrow\ & x_{n+1}-x_n = -\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\rm{ (car f'(x_n)\neq0)}\\
\Leftrightarrow\ & \boxed{x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a le tableau complété suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
x & 1 & \tiny\numprint{0,271649346} & \tiny\numprint{0,411602333}  & \tiny\numprint{0,426183639}  & \tiny\numprint{0,426302743} & \tiny\numprint{0,426302751}\\
\hline
\end{tabularx}

\item La valeur affichée par cet algorithme correspond à $x_5$.

\item Dans la mesure où les différentes valeurs de $x$ calculées dans la boucle de l'algorithme correspondent aux termes successifs de la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0}, on peut conjecturer que\linebreak $\limite{n}{+\infty}{x_n}\approx0,426303$.
\end{enumerate}

\item $\mathscr{C}$ est au-dessus de $(T_0)$ donc $x_1<\alpha$.

Dans un cas général, le point d'intersection de la tangente à une courbe $\mathscr{C}_f$ (toujours située au-dessus de ses tangentes) et de l'axe des abscisses sera toujours avant la solution de l'équation $f(x)=0$.

Donc, $x_n\leqslant\alpha$ pour tout entier naturel $n$.

\item Par définition, $x_{n+1}-x_n=-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Or, $f(x)\geqslant0$ sur \intervOF{0}{\alpha} (d'après les variations de $f$) et $f'(x)<0$ sur ce m\^eme intervalle. Par conséquent, $x_{n+1}-x_n\geqslant0$, soit \uline{\suite{x}{n}{n\geqslant0} croissante sur \intervOF{0}{\alpha}}.

\medskip

Or, la suite est majorée par $\alpha$, donc elle converge. Notons $\ell$ sa limite. Alors, la relation :
\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
devient (car $f$ et $f'$ sont continues sur \intervOF{0}{\alpha}) :
\[ \ell = \ell - \dfrac{f(\ell)}{f'(\ell)}\]
soit :
\[ f(\ell)=0.\]
Or, l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ sur \intervOF{0}{\alpha} est $\alpha$.

\uline{Donc la limite de \suite{x}{n}{n\geqslant0} est $\alpha$}.
\end{enumerate}