\exercice[style=R,N=5,verif]{Méthode de Newton}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par :
\[ f(x)=\e^{-x}-\sqrt{x}\]
dont la courbe représentative dans un repère orthonormé $\Rij$ est nommée $\mathscr{C}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{0}{1}. On la notera $\alpha$.
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $(T_0)$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $x=1$ est :
\[ y=-\left(\frac{2+\e}{2\e}+1\right)x+\frac{4-\e}{2\e}.\]
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0} définie par $x_0=1$ et en considérant que pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente $(T_n)$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $x_n$ et de l'axe des abscisses.

Ainsi, $x_1$ est l'abscisse du point d'intersection de $(T_0)$ et de l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}[start=4]
\item Montrer que $x_1=\dfrac{4-\e}{2+\e}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que sur $\R*_+$, $f'(x)\neq0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
\[ x_{n+1}=x_n-\dfrac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}.\]
\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algo}{}
\begin{algoentries}
x est un réel\\
i est un entier
\end{algoentries}
\begin{algobody}
x prend la valeur 1
\begin{algofor}{i allant de 1 à 4}
x prend la valeur x-(exp(-x)-$\sqrt{x}$)/(-exp(-x)-1/(2$\sqrt{x}$))
\end{algofor}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher x
\end{algoend}
\end{algo}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs approchées avec toutes les décimales affichées par la calculatrice) :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
x & 1 &   &   &   & & \\
\hline
\end{tabularx}

\item \`A quoi correspond la valeur affichée par cet algorithme ?
\item D'après le tableau de valeurs trouvé à la question (a), émettre une conjecture quant à la limite de la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0}.
\end{enumerate}

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $\mathscr{C}$ est toujours au-dessus de $(T_n)$.

Expliquer les raisons pour lesquelles, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $x_n\leqslant\alpha$.

\item Montrer que la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0} est croissante.

En déduire qu'elle converge vers $\alpha$.
\end{enumerate}