\exercice[style=R,N=5,verif]{L'escargot de Gardner}

Léo l'escargot avance à la vitesse de 1 m/h sur un élastique de 100 mètres qui peut s'allonger à l'infini.

Au début de chaque heure, on allonge l'élastique de 100 mètres de façon homogène, ce qui signifie qu'au début de la 1\iere{} heure écoulée, l'escargot se trouvait à 1 mètre du point de départ avant l'allongement de l'élastique et se retrouve à 2 mètres du point de départ après car pour passer de 100 m à 200 m, on a multiplié par 2.

Au bout de la 2\ieme{} heure, Léo avance de 1 mètre et après allongement, il se trouve à 4,50 mètres.

On note $u_n$ la distance (en mètre) parcourue par Léo au bout de $n$ heures avant l'allongement de l'élastique. Ainsi, $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_2=3$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Expliquer la valeur de $u_2$.
\item Calculer $u_3$.
\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n+1$.

\item On note $p_n$ le pourcentage représentant l'avancement de Léo par rapport à la longueur de l'élastique (avant allongement) à l'étape $n$. Ainsi, $p_1=1$ et $p_2=1,5$.

Montrer que $p_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$.

\item Montrer par récurrence que $p_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_{2^n}\geqslant1+\dfrac{n}{2}$.

\item En déduire la limite de la suite \suite{p}{n}{}.

Que peut-on alors conclure quant à Léo ? N'y a-t-il pas alors un paradoxe ?
\end{enumerate}