\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=\dfrac{1-(1+x)}{1+x}=\dfrac{-x}{1+x}$ d'où le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=-2cm]
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/1.3,$f'(x)$/0.7,$f$/1.5}{$-1$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/$0$,-/}
\end{tikzpicture}
\qquad
$f(0)=\ln(1+0)-0=\ln1=0.$
\end{center}

\underline{Ainsi, pour $x>-1$, $f(x)\geqslant0$.}

\item Notons $\mathcal{P}_n$ : $u_n>0$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} au $u_0=1>0$ donc la propriété est vraie au rang initial.

\item \textbf{Hérédité :} supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ soit vraie. Alors :
\begin{align*}
u_k>0 & \iff u_k+1>1\\
& \iff \ln(u_k+1)>\ln1\\
& \iff u_{k+1} > 0.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
\underline{Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$}.

\item Pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}-u_n=\ln(u_n+1)-u_n=f(u_n).\]
Or, d'après la question précédente, $u_n>0$ donc $f(u_n)<0$ d'après les variations de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

\underline{Par conséquent, $u_{n+1}-u_n<0$; la suite \suite{u}{n}{n\in\N} est donc strictement décroissante.}

La suite est donc décroissante et minorée par 0. Toute suite décroissante et minorée converge donc \suite{u}{n}{n\in\N}, elle converge.

\item On pose $\ell=\limite{n}{+\infty}{u_n}$. Par définition, 
\[
\limite{n}{+\infty}{u_{n+1}}=\limite{n}{+\infty}{u_{n}}=\ell
\]
donc :
\[
\limite{n}{+\infty}{\ln(u_n+1)}=\ell.
\]
La fonction $x\mapsto\ln x$ étant continue sur \intervOF{0}{+\infty}, $\limite{n}{+\infty}{\ln(u_n+1)}=\ln\big(\limite{n}{+\infty}{(u_n)}+1\big)=\ln(\ell+1)$ donc :
\[
\ln(\ell+1)=\ell \qquad\text{soit}\qquad \ln(\ell+1)-\ell=0
\]
ou encore : $f(\ell)=0$.

D'après les variations de $f$, il n'existe qu'une valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$ : c'est $x=0$.

\underline{Par conséquent, $\ell=0$. La suite \suite{u}{n}{n\in\N} converge donc vers 0.}
\end{enumerate}