\exercice[style=R,N=3,verif]{Avec un logarithme}

On considère la suite \suite{u}{n}{n\in\N} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\ln(u_n+1).
\end{cases}
\]

Soit $f$ la fonction définie sur $\intervOO{-1}{+\infty}$ par :
\[
f(x)=\ln(x+1)-x.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1$, $f(x)\geqslant0$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
\item Montrer que \suite{u}{n}{n\in\N} est strictement décroissante. En déduire qu'elle converge.
\item Déterminer la limite de \suite{u}{n}{n\in\N}.
\end{enumerate}