\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=0$, $\begin{aligned}[t]
(a+b)^n & = (a+b)^0 = 1\\
\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}=\dbinom{0}{0}a^0b^0=1
\end{aligned}$

Ainsi, la formule est vraie pour $n=0$ et l'initialisation est alors v\'erifi\'ee.

\medskip

\item \textbf{H\'er\'edit\'e.}

On suppose que pour un $n$ arbitraire, l'\'egalit\'e est vraie donc :
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R\times\R,\quad (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\qquad\text{(HR)}
\]
et montrons qu'elle l'est aussi au rang $n+1$, donc montrons que :
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R\times\R,\quad (a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}
\]
Dans un premier temps, remarquons que :
\[
(a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)=a(a+b)^n + b(a+b)^n.
\]
De plus,
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
b(a+b)^n & =\textcolor{red}{b}\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\quad\text{par (HR)}\\
& = \sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n\textcolor{red}{+1}-k}
\end{aligned}$

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
a(a+b)^n & = \textcolor{red}{a}\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\\
& = \sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^{k\textcolor{red}{+1}}b^{n-k}\\
& = \sum_{p=1}^{n+1}\dbinom{n}{p-1}a^p b^{n+1-p}\qquad\text{en posant }p=k+1\\
& = \sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n}{k-1}a^k b^{n+1-k}\qquad\text{en prenant $k=p$ (car c'est une variable muette)}
\end{aligned}$
\end{itemize}
Ainsi,
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} & 
=\textcolor{red}{\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n+1-k}}+\textcolor{blue}{\sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n}{k-1}a^k b^{n+1-k}}
\end{align*}

\begin{multline*}
(a+b)^{n+1} = {\color{red}\dbinom{n}{0}a^0b^{n+1-0}+\sum_{k=1}^n\dbinom{n}{k}a^kb^{n+1-k}} \\+ {\color{blue}\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k-1}a^k b^{n+1-k} + \dbinom{n}{(n+1)-1}a^{n+1} b^{n+1-(n+1)}}
\end{multline*}
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} & = a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} \left[ \dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k} \right] a^kb^{n+1-k}\\
& = a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} \dbinom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}
\end{align*}
Or, 
\[ 
a^{n+1}=\dbinom{n+1}{n+1}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}
\qquad\text{et}\qquad
b^{n+1}=\dbinom{n+1}{0}a^0 n^{n+1-0}
\] 
donc donc peut incorporer $a^{n+1}$ et $b^{n+1}$ dans la somme :
\[
(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \dbinom{n+1}{k} a^kb^{n+1-k}.
\]
L'h\'er\'edit\'e est alors v\'erifi\'ee. La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}