\begin{enumerate}
\item $2\cos^2x-3\cos x+1=0$.

Posons $X=\cos x$. Ainsi, l'équation dévient : 
\[
2X^2-3X+1=0.
\]
Le discriminant du polynôme $2X^2-3X+1$ est :
\[
\Delta=9-4\times2\times1=1.\]
Ce dernier admet donc deux racines :
\[
X_1=\dfrac{3-\sqrt{1}}{4}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{3+1}{4}=1.
\]
Ainsi,
\[
\cos x_1=\dfrac{1}{2}\qquad\text{ et }\qquad \cos x_2=1\;,
\]
donc :
\[
x_1=\dfrac{\pi}{3}\text{ ou }x_1=-\dfrac{\pi}{3}\qquad\text{ et }\qquad x_2=0.
\]
On a alors :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{\pi}{3}~;~0~;~\dfrac{\pi}{3} \right\}}
\]

\newpage

\item $2\sin^2x+5\sin x+2=0$.

Posons $X=\sin x$. Ainsi, l'équation devient : 
\[
2X^2+5X+2=0.
\]
Le discriminant du polynôme $2X^2+5X+2$ est :
\[
\Delta=25-4\times2\times2=9.
\]
Ce dernier admet donc deux racines :
\[
X_1=\dfrac{-5-3}{4}=-2\qquad\text{ et }\qquad X_2=\dfrac{-5+3}{4}=-\dfrac{1}{2}.
\]
Ainsi,
\[
\sin x_1=-2\text{ (impossible car }-2<-1)\qquad\text{et}\qquad \sin x_2=-\dfrac{1}{2}\;,
\]
soit :
\[
x_2=-\dfrac{\pi}{6}\text{ ou } x_2=-\pi+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}.
\]
On a alors :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{5\pi}{6}~;~-\dfrac{\pi}{6} \right\}}
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item $\left(9-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)^2 
 = 81-27\sqrt{2}+\dfrac{9}{2} = \dfrac{171-54\sqrt{2}}{2}$.

\item $3\cos^2x-\left(9+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)\cos x+\dfrac{9}{\sqrt{2}}=0$.

\medskip

Posons $X=\cos x$. L'équation devient alors :
\[
3X^2-\left(9+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)X+\dfrac{9}{\sqrt{2}}=0.
\]
Le discriminant du polynôme $3X^2-\left(9+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)X+\dfrac{9}{\sqrt{2}}$ est :
\begin{align*}
\Delta & =\left[-3\big(3+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big)\right]^2-4\times3\times\dfrac{9}{\sqrt{2}}\\
& = 9\left(\dfrac{19}{2}+\dfrac{6}{\sqrt{2}}\right)-\dfrac{108}{\sqrt{2}}\\
& = \dfrac{171}{2}+\dfrac{54}{\sqrt{2}}-\dfrac{108}{\sqrt{2}}\\
& = \dfrac{171}{2}-\dfrac{54}{\sqrt{2}}\\
& = \dfrac{171-54\sqrt{2}}{2}\\
& = \left(9-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)^2 \text{ d'après la question précédente}.
\end{align*}
Ce dernier admet donc deux racines :
\[
X_1=\dfrac{9+\frac{3}{\sqrt{2}}-\left(9-\frac{3}{2}\sqrt{2}\right)}{6}=\dfrac{\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\]
et
\[
X_2=\dfrac{9+\frac{3}{\sqrt{2}}+\left(9-\frac{3}{2}\sqrt{2}\right)}{6}=3.
\]
Ainsi,
\[
\cos x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\text{ et }\qquad \cos x_2=3\text{ (impossible car $3>1$)}\;,
\]
soit :
\[
x_1=\dfrac{\pi}{4}\qquad\text{ou} x_1=-\dfrac{\pi}{4}.
\]
Finalement, on a :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{4} \right\}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}