\begin{enumerate}
\item\label{trigoq1} $f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}$ donc $f'(x)=-\sin x+x$ et $f''(x)=-\cos x+1$.

On sait que pour tout réel $x$, $-1\leqslant\cos x\leqslant1$ donc $0\leqslant f''(x)\leqslant2$. Autrement dit, $f''(x)\geqslant0$ donc $f'$ est strictement croissante sur \R.

De plus, $f'(0)=0$ donc $f'(x)\geqslant0$ sur \R. Par conséquent, $f$ est strictement croissante\linebreak sur \R. Or, $f(0)=0$ donc on en déduit que \underline{$f(x)\geqslant0$ sur \R}.

\item\label{trigoq2} $g(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}$, donc $g'(x)=-\sin x+x-\dfrac{x^3}{6}$, $g''(x)=-\cos x+1-\dfrac{x^2}{2}$,\linebreak $g'''(x)=\sin x-x$ et $g''''(x)=\cos x -1$.

On a alors $g^{(4)}(x)\leqslant0$ sur \R, donc $g^{(3)}$ est strictement décroissante sur \R. Or, $g^{(3)}(0)=0$ donc $g^{(3)}(x)\leqslant0$ sur \R.

On en déduit que $g''$ est décroissante sur \R. Or, $g''(0)=0$ donc $g''(x)\leqslant0$ sur \R, ce qui implique que $g'$ est décroissante sur \R. Or, $g'(0)=0$ donc $g'(x)\leqslant0$ sur \R, donc $g$ est décroissante sur \R. Or, $g(0)=0$ donc \underline{$g(x)\leqslant0$ sur \R}.

\item De la question \ref{trigoq1}, on déduit que pour tout réel $x$:
\[
\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\geqslant \iff \cos x\geqslant 1+\dfrac{x^2}{2}.
\]
De la question \ref{trigoq2}, on déduit que pour tout réel $x$ :
\[
\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}\leqslant0 \iff \cos x\leqslant1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{1-\dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}}.
\]

\item Si $x=\dfrac{\pi}{5}$, alors :
\[
1-\dfrac{\pi^2}{50}\leqslant\cos \dfrac{\pi}{5} \leqslant 1-\dfrac{\pi^2}{50}+\dfrac{\pi^4}{\numprint{15000}}
\]
\paragraph*{N.B.} On remarque que $\dfrac{\pi^4}{\numprint{15000}}$ est très proche de 0 (à peu près égal à 0,006), ce qui nous permet de dire que $\cos\dfrac{\pi}{5}\approx1-\dfrac{\pi^2}{50}$ (au centième près).

En effet, $1-\dfrac{\pi^2}{50}\approx0,0,803$ et $\cos\dfrac{\pi}{5}\approx0,809$. On a bien une erreur de 0,006.
\end{enumerate}