\exercice[style=R,N=3,verif]{Encadrement de cos x}
Le but de cet exercice est de démontrer que pour tout réel $x$, on a :
\[
1-\dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.
\]
\begin{enumerate}
\item On pose $f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}$.

À l'aide des fonctions $f'(x)$ et $f''(x)$, montrer que $f(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$.

\item On pose $g(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}$. 

En dérivant quatre fois $g(x)$, montrer que $g(x)\leqslant0$ pour tout réel $x$.

\item Conclure.

\item Application : donner un encadrement de $\cos\dfrac{\pi}{5}$.
\end{enumerate}