\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est d�fini quand $1+\sin x\neq0$.

Or, $1+\sin x=0 \iff \sin x=-1 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\Z$.

\medskip

Ainsi, le domaine de d�finition de $f$ est $\boxed{{\cal D}_f=\R\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}$.


\item On sait que $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$. Par cons�quent, $f(x+2\pi)=f(x)$.

\underline{Ainsi, $f$ est $2\pi$-p�riodique.}

\newpage

\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=\cos x$ et $v(x)=1+\sin x$.

Ainsi, $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, avec $u'(x)=-\sin x$ et $v'(x)=\cos x$.
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{-\sin x(1+\sin x)-\cos^2x}{(1+\sin x)^2}\\
& = \dfrac{-\sin x-\sin^2x-\cos^2x}{(1+\sin x)^2}\\
& = \dfrac{-\sin x-(\sin^2x+\cos^2x)}{(1+\sin x)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = -\dfrac{\sin x+1}{(1+\sin x)^2}}\quad\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1\text{ pour tout r�el }x.
\end{align*}
Or, pour tout r�el $x\in\intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$, $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$ donc $0\leqslant\sin x+1\leqslant2$. De plus, $(1+\sin x)^2>0$ donc $f'(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.

\medskip

\underline{Ainsi, $f$ est strictement d�croissante sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.}
\end{enumerate}