\begin{enumerate}
\item Ici, nous avons une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} donc nous allons passer par la notion de taux d'accroissement.

Posons $f(x)=\sin(ax)$ et $g(x)=\sin x$. 

Alors, $f'(x)=a\cos(ax)$ donc $f'(0)=a$, et $g'(x)=\cos x$ donc $g'(0)=1$.

De plus, $f(0)=g(0)=0$ et, pour tout $x$ différent de 0, on a :
\[
\dfrac{\sin(ax)}{\sin x}=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\times\dfrac{x-0}{g(x)-g(0)}.
\]
Ainsi, 
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(ax)}{\sin x}}=\limite{x}{0}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\times\dfrac{x-0}{g(x)-g(0)}}.
\]
Or, 
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}=f'(0)\quad\text{et}\quad\limite{x}{0}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}}=g'(0)\text{ donc }\limite{x}{0}{\dfrac{x-0}{g(x)-g(0)}}=\dfrac{1}{g'(0)}.
\]
Ainsi,
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(ax)}{\sin x}}=\limite{x}{0}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}\times\limite{x}{0}{\dfrac{x-0}{g(x)-g(0)}}=a\times\dfrac{1}{1}.
\]
\[
\boxed{\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(ax)}{\sin x}}=a}
\]

\paragraph*{N.B.} On aurait aussi pu écrire :
\[
\dfrac{\sin(ax)}{\sin x}=a\times\dfrac{\sin(ax)}{ax}\times\dfrac{x}{\sin x}
\]
et utiliser la propriété du cours : $\limite{X}{0}{\dfrac{\sin X}{X}}=1$.

\item On sait que $\cos^2x+\sin^2x=1$ donc $\sin^2x=1-\cos^2x$.

Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{\cos x-1}{\sin^2x} & = \dfrac{\cos x-1}{1-\cos^2x}\\
& = \dfrac{\cos x-1}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\
& = -\dfrac{1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\
& = -\dfrac{1}{1+\cos x}\qquad\text{ pour }x\neq0+2k\pi,\ k\in\Z.
\end{align*}
Ainsi, $\limite{x}{0}{\dfrac{\cos x-1}{\sin^2x}}=\limite{x}{0}{-\dfrac{1}{1+\cos x}}=-\dfrac{1}{2}$.
\[
\boxed{\limite{x}{0}{\dfrac{\cos x-1}{\sin^2x}}=-\dfrac{1}{2}}
\]

\item On a :
\begin{align*}
\dfrac{\cos^2x-1}{x} & = \dfrac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{x}\\
& = \dfrac{\cos x-1}{x}\times(\cos x+1)
\end{align*}
Or, d'après le cours, $\limite{x}{0}{\dfrac{\cos x-1}{x}}=0$ donc $\limite{x}{0}{ \dfrac{\cos x-1}{x}\times(\cos x+1)}=0\times(\cos 0+1)=0$.
\[
\boxed{\limite{x}{0}{\dfrac{\cos^2x-1}{x}}=0}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2
& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}}\\
& = \dfrac{1}{2}\times4\times\dfrac{1-\cos^2\frac{x}{2}}{x^2}\\
& = \dfrac{2-2\cos^2\frac{x}{2}}{x^2}\\
& = \dfrac{1+\big(1-2\cos^2\frac{x}{2}\big)}{x^2}\\
& = \dfrac{1+\left[-\cos\big(2\times\frac{x}{2}\big)\right]}{x^2}\quad\text{car }\cos(2a)=2\cos^2a-1\\
\Aboxed{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 & = \dfrac{1-\cos x}{x^2}}
\end{aligned}$

\item On sait que $\limite{X}{0}{\dfrac{\sin X}{X}}=1$ donc $\limite{x}{0}{\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}=1$. On a alors $\limite{x}{0}{\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\right]}=\dfrac{1}{2}$, d'où :
\[
\boxed{\limite{x}{0}{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}}
\]
De plus, $\limite{x}{0}{\dfrac{1-\cos\sqrt{x}}{x}}=\limite{X}{0}{\dfrac{1-\cos X}{X^2}}$ (en posant $X=\sqrt{x}$).

D'après ce qui précède, on obtient alors : $\boxed{\limite{x}{0}{\dfrac{1-\cos\sqrt{x}}{x}}=\dfrac{1}{2}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}