\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) 
& = \big[\cos(x+\pi)\big]^3\cos\big(3(x+\pi)\big)\\
& = \big[-\cos x\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\cos^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\cos^3x\big(-\cos(3x)\big)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}
\underline{Donc $f$ est $\pi$-périodique.}

On peut donc réduire l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est paire. D'abord, le domaine de définition de $f$ est centré en 0. De plus, 
\begin{align*}
f(-x) & = \big[\cos(-x)\big]^3\cos(-3x)\\
& = \big[\cos x\big]^3\cos(3x)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(-x) & = f(x)}
\end{align*}

\underline{Donc $f$ est paire.}

On peut donc réduire le domaine d'étude à la moitié du précédent, donc à \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}} par exemple.

\paragraph*{N.B.} On aurait aussi pu prendre \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{0}.
\end{itemize}

\item $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=\cos^3x$ et $v(x)=\cos(3x)$.

Ainsi, $f'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=3\times(-\sin x)\times\cos^2x=-3\sin x\cos^2 x$ et $v'(x)=-3\sin(3x)$.
\begin{align*}
f'(x) & 
= -3\sin x\cos^2 x\cos(3x)-3\cos^3x\sin(3x)\\
& = -3\cos^2x\textcolor{red}{\big[\sin x\cos(3x)+\cos x\sin(3x)\big]}\\
& = -3\cos^2x\textcolor{red}{\sin(x+3x)}\quad\text{d'après la formule }\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\\
\Aboxed{f'(x) & = -3\cos^2 x\sin(4x)}
\end{align*}

$\forall\; x\in\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}},\ -3\cos^2x\leqslant0$.

De plus, $\sin(4x)>0 \iff 0+2k\pi < 4x < \pi+2k\pi \iff \dfrac{k\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$.
\newpage
Ainsi, sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=violet!20,colorL=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{2}$}
\tkzTabLine{z,-,z,+,z}
\tkzTabVar{+/1,-/$-\frac{1}{4}$,+/0}
\end{tikzpicture}
\qquad\begin{minipage}{4cm}
$\begin{aligned}[t]
f\left(\frac{\pi}{4}\right) 
& = \left(\cos\frac{\pi}{4}\right)^3\cos\frac{3\pi}{4}\\
& = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
& = \frac{2\sqrt{2}}{8}\times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
& = -\frac{4}{16}\\
& = -\frac{1}{4}
\end{aligned}$
\end{minipage}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff \cos^3x=0\quad\text{ou}\quad\cos(3x)=0\\
& \iff \cos x=0\quad\text{ou}\cos(3x)=0\\
& \iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{ou}\quad3x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\Z\\
& \iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3},\qquad k\in\Z
\end{aligned}$

Ainsi, sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}, $f(x)=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}$ ou $x=\dfrac{\pi}{6}$.

\item La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=3,xscale=0.08]
\draw[thick,->] (-100,0) -- (100,0);
\draw[thick,->] (0,-0.5) -- (0,1.5);
\draw[violet] plot[domain=-90:90,samples=100] 
(\x,{cos(3*\x)*cos(\x)*cos(\x)*cos(\x)});
\draw[thick] (45,0.03) -- (45,-0.03) node[above,outer ysep=5pt] {$\frac{\pi}{4}$};
\draw[thick] (-45,0.03) -- (-45,-0.03) node[above] {$-\frac{\pi}{4}$};
\draw[thick] (90,0.03) -- (90,-0.03) node[below] {$\dfrac{\pi}{2}$};
\draw[thick] (-90,0.03) -- (-90,-0.03) node[below] {$-\dfrac{\pi}{2}$};
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[dashed] (45,0) -- (45,-0.25) -- (0,-0.25) node[left] {$-\frac{1}{4}$};
\draw[thick] (1.25,1) -- (-1.25,1) node[above left] {1};
\draw[<->,thick,violet] (-10,1) -- (10,1);
\draw[<->,thick,violet] (35,-0.25) -- (60,-0.25);
\draw[<->,thick,violet] (-60,-0.25) -- (-35,-0.25);
\draw[very thick,violet,->] (-90,0) -- (-65,0);
\draw[very thick,violet,->] (90,0) -- (65,0);
\draw[thick] (30,-0.03) -- (30,0.03) node[above] {$\frac{\pi}{6}$};
\draw[thick] (-30,-0.03) -- (-30,0.03) node[above] {$-\frac{\pi}{6}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}