\exercice[style=R,N=4,verif]{Fonction $x\mapsto\sin^3x\cos(3x)$}
On considère la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\sin^3x\cos(3x). \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut réduire le domaine d'étude de $f$ à l'intervalle \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}.
\item À l'aide de la formule $\cos(2a)=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$, déterminer une valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{8}$ et de $\sin\dfrac{\pi}{8}$.
\item Montrer que $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt2-1$.
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}} puis dresser le tableau de variation de $f$ sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}} en indiquant la valeur exacte de $f\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.

On admettra que $f\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{8}$.
\item Résoudre sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}} l'équation $f(x)=0$.
\item Dessiner alors la courbe représentative de $f$ sur \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{enumerate}