\begin{enumerate}
\item Le triangle ABD est rectangle en B donc :
\[  
\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} \iff 	\boxed{\text{AD}=\dfrac{4}{\cos\theta}}.\\[8pt]
\tan\theta=\dfrac{\text{BD}}{\text{AB}} \iff \text{BD}=4\tan\theta
\end{cases}
\]
On en d�duit alors que $\boxed{\text{CD}=7+4\tan\theta}$.

\medskip

D'apr�s la formule $v=\dfrac{d}{t}$, on d�duit que $t_1=\dfrac{\text{AD}}{30}$, exprim�e en heures. Il est plus judicieux d'exprimer cette dur�e en minutes en remarquant que: \[
30~\text{km/h}=30\times\dfrac{\numprint{1000}~\text{m}}{60~\text{min}}=500~\text{m/min}.
\]

Ainsi, $\boxed{t_1=\dfrac{4}{500\cos\theta}}$.

\medskip

De m�me, 60 km/h = \numprint{1000} m/min donc $\boxed{t_2=\dfrac{7+4\tan\theta}{\numprint{1000}}}$.

\newpage

\item Le lapin aura travers� la route avant le passage du camion si et seulement si $t_2>t_1$, donc si et seulement si $t_2-t_1>0$.
\begin{align*}
t_2-t_1 & = \dfrac{7+4\tan\theta}{\numprint{1000}}-\dfrac{4}{500\cos\theta}\\[6pt]
& = \dfrac{1}{500}\left( \dfrac{7+4\tan\theta}{2}-\dfrac{4}{\cos\theta} \right)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+2\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\dfrac{4}{\cos\theta} \right)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+\dfrac{2\sin\theta-4}{\cos\theta} \right)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+\dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta}-\dfrac{4}{\cos\theta} \right)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+2\tan\theta-\dfrac{4}{\cos\theta} \right)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{500}f(\theta).
\end{align*}

Ainsi, $t_2-t_1>0 \iff f(\theta)>0$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(\theta) & = \dfrac{2\cos^2\theta+\sin\theta(2\sin\theta-4)}{\cos^2\theta}\\[6pt]
& = \dfrac{2-4\sin\theta}{\cos^2\theta}\\[6pt]
& = \dfrac{2(1-2\sin\theta)}{\cos^2\theta}
\end{aligned}$

Ainsi, $f'(\theta)>0 \iff 1-2\sin\theta>0 \iff \sin\theta<\dfrac{1}{2} \iff \theta<\dfrac{\pi}{6}$.

De plus, 
\begin{itemize}
\item $f(0)=\dfrac{7}{2}-4=-\dfrac{1}{2}$ ;
\item $\limite[x<\pi/2]{x}{\frac{\pi}{2}}{(2\sin\theta-4)}=-4$ et $\limite[x<\pi/2]{x}{\frac{\pi}{2}}{\cos\theta}=0^+$ donc par quotient, $\limite[x<\pi/2]{x}{\frac{\pi}{2}}{f(\theta)}=-\infty$ ;
\item $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{1-4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{6}{\sqrt{2}}=\dfrac{7-6\sqrt{2}}{2}\approx0,04>0$.
\end{itemize}
D'o� le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=violet!20,colorL=violet!20,colorV=violet!20]{$\theta$/0.8,$f'(\theta)$/0.5,$f(\theta)$/1.5}{0,$\frac{\pi}{6}$,$\frac{\pi}{2}$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$-\frac{1}{2}$,+/$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$,-/$-\infty$}
\end{tikzpicture}	
\end{center}

\medskip

On peut donc conclure que le lapin peut �tre sauv� si $\theta\approx\dfrac{\pi}{6}$.
\end{enumerate}