\exercice[style=R,N=3,verif]{D'après un sujet de bac, Nouvelle Calédonie 2005}

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est-à-dire à 30 km/h.

L'avant du camion est représenté par le segment [CC'] sur le schéma page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (0,0) -- (12,0);
\draw (0,2) -- (12,2);
\draw[<->] (0.5,0) -- (0.5,2) node[midway,left] {4 m};
\filldraw[draw=purple,fill=purple!10] (1.5,0) rectangle+(5,2) node[midway] {Camion};
\draw[->,purple] (3,0.5) -- (5,0.5);
\node[below right] at (6.5,0) {C};
\node[above right] at (6.5,2) {C'};
\draw[<->] (6.5,1) -- (9,1) node[midway,above] {7 m};
\filldraw[draw=purple,fill=purple!10] (9,2) -- (9,1.5) arc(-90:-45:0.5cm) -- cycle;
\node[purple] at (9.2,1.3) {$\theta$};
\draw (9,0) node[below] {B} -- (9,2) node[above] {A};
\draw[->] (9,2) -- (11,0) node[below] {D};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l'angle $\theta=\angle{BAD}$ avec $0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}$ (en radians).

\begin{enumerate}
\item Déterminer les distances AD et CD en fonction de $\theta$ et les temps $t_1$ et $t_2$ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.
\item On pose $f(\theta)=\dfrac7 2 + 2\tan\theta-\dfrac{4}{\cos\theta}$.

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f(\theta)>0$.
\item \'Etudier la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFO{0}{\dfrac{\pi}{2}}.

Conclure.
\end{enumerate}