\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Généralités sur les fonctions}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Dérivation (classe de 1\iere)
\item Suites numériques
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Limites aux infinis}]
La notion de limite aux infinis pour les fonctions est la m\^eme que pour les suites numériques.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
La limite aux infinis d'une fraction rationnelle est la m\^eme que celle du quotient des termes de plus haut degré.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soit la fonction rationnelle $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, où $P$ est un polyn\^ome de degré $n$ et $Q$, un polyn\^ome de degré $m$.\\
Alors,
\begin{align*}
f(x) & =\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}\\
& = \dfrac{a_nx^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^2}+\cdots+\frac{a_0}{x^n} \right)}{b_m\left(1+\frac{b_{m-1}}{x}+\frac{b_{m-2}}{x^2}+\cdots+\frac{b_0}{x^m} \right)}
\end{align*}
Or,
\[
\limite{x}{\pm\infty}{\frac{a_{n-1}}{x}}=\limite{x}{\pm\infty}{\frac{a_{n-2}}{x^2}}=\cdots=\limite{x}{\pm\infty}{\frac{a_0}{x^n}}=0
\]
et
\[
\limite{x}{\pm\infty}{\frac{b_{m-1}}{x}}=\limite{x}{\pm\infty}{\frac{b_{m-2}}{x^2}}=\cdots=\limite{x}{\pm\infty}{\frac{b_0}{x^m}}=0.
\]
On en déduit alors que :
\[
\limite{x}{\pm\infty}{f(x)}=\limite{x}{\pm}{\frac{a_nx^n}{b_mx^m}}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{align*}
\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{2x^2-5x+3}{-8x+7}\right)} & =\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{2x^2}{-8x}\right)}\\
& =\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x}{-4}\right)}\\
& = -\infty.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Limite en un nombre fini, limite à droite, limite à gauche d'un nombre fini}]
Soit $a$ un nombre réel et soit $f$ une fonction.
\begin{itemize}
\item On dit que $f$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ quand tout intervalle de la forme \intervOO{A}{+\infty} contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ très proche de $a$.\\
On note alors $\limite{x}{a}{f(x)}=+\infty$.

\item On dit que $f$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ quand tout intervalle de la forme \intervOO{-\infty}{A} contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ très proche de $a$.\\
On note alors $\limite{x}{a}{f(x)}=-\infty$.

\item On appelle \definmot{limite de $f$ à droite de $a$} la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.\\
On note alors \limite[x>a]{x}{a}{f(x)}.

\item On appelle \definmot{limite de $f$ à gauche de $a$} la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.\\
On note alors \limite[x<a]{x}{a}{f(x)}.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{itemize}
\item Lorsque $a$ est une valeur interdite de $f$, il se peut que la limite à droite de $a$ soit différente de celle à gauche. Par exemple, pour la fonction inverse :
\[ \limite[x<0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=-\infty\qquad ; \qquad \limite[x>0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=+\infty.\]

\item Lorsque $\limite[x<a]{x}{a}{f(x)}=\limite[x>a]{x}{a}{f(x)}$, on écrira : $f(a)=\limite{x}{a}{f(x)}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Limites de fonctions usuelles en un nombre fini}]
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite[x>0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}=+\infty$.
\item $\limite[x>0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=+\infty,\ n\in\N$.
\item $\limite[x<0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x^{2n}}\right)}=+\infty,\ n\in\N$.
\item $\limite[x<0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x^{2n+1}}\right)}=-\infty,\ n\in\N$.
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Asymptote horizontale}]
Soit $f$ une fonction telle que $\limite{x}{\pm\infty}{f(x)}=L$.\\
Alors, la droite d'équation $y=L$ est appelée une \definmot{asymptote horizontale} à la courbe représentative de $f$ en $\pm\infty$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->,thick] (-7,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,3);
\foreach\x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-1,1,2}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{(2*\x*\x+\x-1)/(\x*\x+\x+1)}) node[above left] {$\mathscr{C}$};
\draw[red] (7,2) -- (-7,2) node[below right] {$\mathscr{D}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous avons ici l'illustration du fait que $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=\limite{x}{-\infty}{f(x)}=2$ : la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ se rapproche de la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=2$. \\
\textbf{Remarquez que la courbe peut couper l'asymptote !}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Asymptote verticale}]
Soit $f$ une fonction telle que $\limite[x>a]{x}{a}{f(x)}=\pm\infty$ ou $\limite[x<a]{x}{a}{f(x)}=\pm\infty$.\\
Alors, la droite d'équation $x=a$ est appelée une \definmot{asymptote verticale} à la courbe représentative de $f$ en $a$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\clip (-7,-3) rectangle (7,3);
\draw[->,thick] (-7,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,-3) -- (0,3);
\foreach\x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-2,-1,1,2}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-7:0.24,samples=100] (\x,{(2*\x+1)/(4*\x-1)}) node[above left] {$\mathscr{C}$};
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=0.26:7,samples=100] (\x,{(2*\x+1)/(4*\x-1)}) node[above left] {$\mathscr{C}$};
\draw[red] (0.25,3) -- (0.25,-3) node[above right] {$\mathscr{D}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Nous avons ici l'illustration du fait que $\limite[x<\frac{1}{4}]{x}{\frac{1}{4}}{f(x)}=-\infty$ et $\limite[x>\frac{1}{4}]{x}{\frac{1}{4}}{f(x)}=+\infty$. La droite $\mathscr{D}$ d'équation $x=\dfrac{1}{4}$ est donc une asymptote verticale à $\mathscr{C}$ en $\dfrac{1}{4}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Règles sur les limites}]
Les règles sur les limites sont les m\^emes que celles vues pour les suites.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Limite d'une fonction composée}]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions. On définit la fonction $h$ par :
\[ h(x)=g\left(f(x)\right).\]
Alors,
\[
\limite{x}{\alpha}{h(x)}=\limite{X}{y}{g(X)}\quad,\quad \text{où } y=\limite{x}{\alpha}{f(x)},
\]
$\alpha$ pouvant représenter un nombre fini ou un infini.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
\[
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{-\infty}{\left(\textcolor{blue}{x^2+1}\right)}=\textcolor{red}{+\infty}\\
\limite{\textcolor{blue}{X}}{\textcolor{red}{+\infty}}{\sqrt{\textcolor{blue}{X}}}=+\infty
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow\limite{x}{-\infty}{f(x)}=+\infty.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $f$ une fonction et soient \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} deux suites telles que $u_n=f\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.\\
Si $\limite{n}{+\infty}{v_n}=\ell$ (limite finie ou infinie), alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\limite{x}{\ell}{f(x)}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la suite définie par $u_n=\dfrac{1}{1+v_n}$, où $v_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$.\\
$\limite{n}{+\infty}{v_n}=\dfrac{1}{2}$ donc $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction continue}]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de \R, et soit $a\in\text{I}$.\\
Si $\limite[x>a]{x}{a}{f(x)}=\limite[x<a]{x}{a}{f(x)}=\ell$, on dit que $f$ est \definmot{continue en $a$}.\\
Si $f$ est continue en tout point $a$ de I, on dit alors que $f$ est continue sur I.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dire qu'une fonction est continue sur I signifie que l'on peut tracer sa courbe représentative en un seul morceau sur I (sans lever le crayon).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Fonctions usuelles continues}]
On admet que les fonctions polyn\^omiales, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue sont continues sur leur domaine de définition.\\
On admet aussi que :
\begin{itemize}
\item le produit de deux fonctions continues sur I est une fonction continue sur I ;
\item Le quotient de deux fonctions continues sur I dont le dénominateur ne s'annule pas  sur I est une fonction continue sur I.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est continue sur $\intervOO{-\infty}{0}$ et $\intervOO{0}{+\infty}$. On n'écrira pas qu'elle est continue sur \R*.
\item La fonction $x\mapsto\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+1}$ est continue sur \R.\\
En effet, la seule valeur interdite est $x=-1$ et sur $\intervOO{-\infty}{-1}$ et sur \intervOO{-1}{+\infty}, cette fonction est continue comme quotient de deux fonctions continues (deux polyn\^omes).\\
Or, pour $x\neq-1$, $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+1}=\dfrac{x-2}{x-1}$, donc $\limite{x}{-1}{\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+1}\right)}=\dfrac{-1-2}{-1-1}=\dfrac{3}{2}$.\\
Finalement, la fonction est continue en $-1$ et donc sur \R.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Toute fonction dérivable sur un intervalle I de \R{} est continue sur I.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soit $f$ une fonction dérivable sur I, et soit $a\in\text{I}$. On peut écrire :\vspace*{-0.7em}
\begin{align*}
f(x)-f(a) & =\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times(x-a)\\
& = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\times h\quad\text{en posant }h=x-a
\end{align*}\vspace*{-1.5em}
Ainsi,
\begin{align*}
\limite{x}{a}{\left(f(x)-f(a)\right)} & =\limite{h}{0}{\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\times h \right)}\\
& = \limite{h}{0}{\left(f'(a)\times h\right)}\quad\text{ car }f\text{ ets dérivable en }a\\
& = 0.
\end{align*}
On a alors : $\limite{x}{a}{f(x)}=f(a)$, ce qui signifie que $f$ est continue en $a$.
\end{pasbox}

\begin{attention}
La réciproque est fausse : il existe des fonctions continues sur un intervalle qui ne sont pas dérivables. Par exemple, la fonction $x\mapsto|x|$ n'est pas dérivable en 0, mais elle est continue sur \R.
\end{attention}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I de \R, et soit \suite{u}{n}{} une suite de réels définie par la relation $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\in\text{I}$.\\
Si $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\ell$ (limite finie), alors $f(\ell)=\ell$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[ u_0=10 \qquad ; \qquad u_{n+1}=\sqrt{u_n}.\]
On peut démontrer par récurrence que : $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n \leqslant 10$ et ensuite en déduire la convergence de la suite (suite décroissante majorée). Ainsi, sa limite $\ell$ est telle que $f(\ell)=\ell$, soit $\ell=\sqrt{\ell}$. On en déduit que $\ell=0$ ou $\ell=1$. Or, $\ell>0$ donc $\ell=1$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Théorème des valeurs intermédiaires}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle \intervFF{a}{b} de \R. On note respectivement $m$ et $M$ le minimum et le maximum de $f(x)$ sur \intervFF{a}{b}.

Pour tout réel $k$ tel que $m \leqslant k \leqslant M$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans \intervFF{a}{b}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=0,125x^3-1,6x^2-6,5x+100$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.03,xscale=0.5]
\draw[->,thick] (-10,0) -- (20,0);
\draw[->,thick] (0,-10) -- (0,140);
\foreach\x in {-10,-5,5,10,15}
{
\draw[thick] (\x,2) -- (\x,-2) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-10,10,20,40,60,80,100,120}
{
\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left] {\y};
}
\clip (-10,-10) rectangle (20,140);
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-10:20,samples=100] (\x,{0.125*\x*\x*\x-1.6*\x*\x-6.5*\x+100});
\draw[red] (-10,60) -- (20,60) node[below left] {$\mathscr{D}$};
\node[blue!50!black] at (18,120) {${\cal C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\breakbox
L'équation $f(x)=60$ admet une unique solution sur \intervFF{-10}{20} car :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue sur cet intervalle ;
\item $m=f(-10)$ et $M=f(20)$ ;
\item $60\in\intervFF{m}{M}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires}]
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \intervFF{a}{b} de \R. 

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans \intervFF{a}{b}.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+x-2$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.7]
\draw[->,thick] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[->,thick] (0,-3) -- (0,3);
\foreach\x in {-2,-1,1,2}
{
\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-2,-1,1,2,3}
{
\draw[thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left] {\y};
}
\clip (-2,-4) rectangle (2,3);
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x-2});
\draw[red] (-2,2) -- (2,2) node[below left] {$\mathscr{D}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur \intervFF{1}{2} car :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement croissante sur cet intervalle ;
\item $f(1)=0$ et $f(2)=8$, donc $2~\in~\intervFF{f(1)}{f(2)}$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Fonctions sinus et cosinus}]
La fonction \definmot{sinus} est la fonction :
\[ 
\fonction[\sin]{\R}{\intervFF{-1}{1}}{x}{\sin x}
\]
La fonction \definmot{cosinus} est la fonction :
\[ 
\fonction[\cos]{\R}{\intervFF{-1}{1}}{x}{\cos x}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Parité et périodicité}]
\begin{enumerate}
\item La fonction sinus est \textbf{impaire} et $2\pi$-périodique.
\item La fonction cosinus est \textbf{paire} et $2\pi$-périodique.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, on a :
\[ \sin(-x)=\sin x\]
donc la fonction sinus est impaire. De plus,
\[ \sin(x+2\pi)=\sin x\]
ce qui signifie que la fonction sinus est $2\pi$-périodique.
\item Pour tout réel $x$, on a :
\[ \cos(-x)=\cos x\]
donc la fonction cosinus est impaire. De plus,
\[ \cos(x+2\pi)=\cos x\]
ce qui signifie que la fonction cosinus est $2\pi$-périodique.\vspace{-1.8em}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

Les courbes représentatives des deux fonctions sont :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=1.5]
\draw[->,thick] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\foreach\x/\v in {-3.14159/$-\pi$,3.14159/$\pi$,1.57/$\frac{\pi}{2}$, -1.57/$-\frac{\pi}{2}$,4.71/$\frac{3\pi}{2}$,-4.71/$-\frac{3\pi}{2}$}
{
\draw[thick] (\x,0.05) -- (\x,-0.05) node[below] {\v};
}
\foreach\y in {-1,1}
{
\draw[thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left] {\y};
}
\node[above left] at (0,0) {O};
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{sin(deg(\x))}) node[below left] {$y=\sin x$};
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{cos(deg(\x))}) node[above left] {$y=\cos x$};
\draw[dashed,green!50!black] (-3.14159,0) -- (-3.14159,-1);
\draw[dashed,green!50!black] (3.14159,0) -- (3.14159,-1);
\draw[dashed,blue!50!black] (-1.57,0) -- (-1.57,-1);
\draw[dashed,blue!50!black] (1.57,0) -- (1.57,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,pluriel,style=prop,name={Limites particulières}]
\[ \limite{x}{0}{\dfrac{\sin x}{x}}=1 \qquad ; \qquad \limite{x}{0}{\dfrac{\cos x-1}{x}}=0.\]
\end{pasbox}

On admettra ces deux limites.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,pluriel,style=prop,name={Dérivée des fonctions sinus et cosinus}]
Pour tout réel $x$,
\[ \sin'(x)=\cos(x)\qquad ; \qquad \cos'(x)=-\sin(x).\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{itemize}
\item Le nombre dérivé de la fonction sinus en $a$ s'écrit :
\[ \limite{h}{0}{\dfrac{\sin(a+h)-\sin a}{h}}.\]
Or, 
\begin{align*}
\dfrac{\sin(a+h)-\sin a}{h} & = \dfrac{\sin a\cos h + \cos a\sin h -\sin a}{h}\\
& = \sin a\dfrac{\cos h -1}{h} + \cos a\dfrac{\sin h}{h}
\end{align*}
Donc, d'après la propriété précédente,
\[ \limite{h}{0}{\dfrac{\sin(a+h)-\sin a}{h}}=\sin a\times0+\cos a\times1=\cos a.\]
D'où la première formule en remplaçant $a$ par $x$.

\item Le nombre dérivé de la fonction cosinus en $a$ s'écrit :
\[ \limite{h}{0}{\dfrac{\cos(a+h)-\cos a}{h}}.\]
Or,
\begin{align*}
\dfrac{\cos(a+h)-\cos a}{h} & = \dfrac{\cos a\cos h - \sin a\sin h-\cos a}{h}\\
& = \cos a\dfrac{\cos h-1}{h}-\sin a\dfrac{\sin h}{h}
\end{align*}
Ainsi,
\[
\limite{h}{0}{\dfrac{\cos(a+h)-\cos a}{h}}=\cos a\times0-\sin a\times1.
\]
D'où la seconde formule.\vspace*{-1.8em}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Dérivée d'une fonction $f(ax+b)$}]
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.\\
Alors, pour tout $x\in\text{J}$ tel que $ax+b\in\text{I}$,
\[ f'(ax+b)=af'(ax+b).\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On pose $g(x)=f(ax+b)$. Pour tout réel $h$ strictement positif et pour tout réel $a$ non nul, on a :
\begin{align*}
\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} & = \dfrac{f(a(x+h)+b)-f(ax+b)}{h}\\
& = \dfrac{f(ax+b+ah)-f(ax+b)}{h}\\
& = a\dfrac{f(ax+b+ah)-f(ax+b)}{ah}\\
& = a\dfrac{f(ax+b+H)-f(ax+b)}{H}\quad\text{avec }H=ah
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
\limite{h}{0}{\left(\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)} & = a\limite{H}{0}{\left(\dfrac{f(ax+b+H)-f(ax+b)}{H}\right)}\\
& = af'(ax+b).
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Soit $g(x)=\sqrt{2x-1}$ définie que \intervFO{\dfrac{1}{2}}{+\infty}.\\
On pose alors $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=f(2x-1)$. Or, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
Donc, $g'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}$ sur \intervOO{\dfrac{1}{2}}{+\infty}.

\item Soit $g(x)=\cos(-3x+4)$. En posant $f(x)=\cos x$, on a $g(x)=f(-3x+4)$ et $f'(x)=-\sin x$.\\
Ainsi, $g'(x)=-3\times(-\sin(-3x+4))$, soit $g'(x)=3\sin(-3x+4)$ sur \R.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Dérivées usuelles}]
On désigne par $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

\begin{center}
\arrayrulecolor{red!50!black}
\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{red!50!black}
\color{white}\bfseries Fonction & \color{white}\textbf{Dérivée} & \color{white}\textbf{Remarques éventuelles}\\
\hline
$\sqrt{u}$ & $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ & $u>0$ sur I\\
\hline
$u^n$, $n\in\Z$ & $nu'u^{n-1}$ & $u$ ne s'annule pas sur I si $n<0$\\
d'où : $u^2$ & $2u'u$ & \\
et : $\dfrac{1}{u}$ & $-\dfrac{u'}{u^2}$ & $u$ ne s'annule pas sur I\\
et : $\dfrac{1}{u^n}$ & $-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$ & $u$ ne s'annule pas sur I\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(2x^2-3x+5)^2$. On pose : $u(x)=2x^2-3x+5$, d'où $u'(x)=4x-3$ et donc $f'(x)=2(4x-3)(2x^2-3x+5)$.

\medskip

\item $f(x)=\sqrt{\cos(5x+1)}$. On pose $u(x)=\cos(5x+1)$, soit $u'(x)=-5\sin(5x+1)$ et donc $f'(x)=\dfrac{-5\sin(5x+1)}{2\sqrt{\cos(5x+1)}}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}
\end{document}	