\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Logarithme Népérien}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Raisonnement par récurrence
\item Fonction exponentielle
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Logarithme népérien}]
On définit la fonction \definmot{logarithme népérien} comme étant la fonction \definmot{$\ln$} définie de $\R*_+$ dans $\R$ telle que :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\forall~x\in\R,\ \ln\left(\e^x\right)=x\\
\forall~x\in\R*_+,\ \e^{\ln x}=x
\end{array}
\right.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
On dit que la fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
\end{pasbox}

Graphiquement, cela se traduit par une symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à la première bissectrice (droite d'équation $y=x$) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[->,>=stealth',thick] (-5.5,0) -- (5.5,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-5.5) -- (0,5.5);
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[dashed] (0,1) -- (1,0);
\draw (0.4,0.6) -- (0.5,0.7) -- (0.6,0.6);
\draw[green!50!black,very thick] plot[domain=-5:1.6,samples=100] (\x,{exp(\x)}) node[right] {$y=\e^x$};
\draw[blue!50!black,very thick] plot[domain=0.01:5,samples=100] (\x,{ln(\x)}) node[right] {$y=\ln x$};
\draw[very thick,red!50!black] (-5,-5) -- (5,5) node[right] {$y=x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
\[ \forall~a\in\R*_+,\ \forall~b\in\R,\ \ln a = b \Longleftrightarrow a = \e^b.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
La fonction exponentielle étant continue et strictement croissante, on a :
\[ \ln a = b \Longleftrightarrow \e^{\ln a}=\e^b.\]
Or, par définition, $\e^{\ln a}=a$. D'où le résultat.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Valeurs remarquables}]
\begin{itemize}
\item $\ln 1 = 0$ (car $\e^0=1 \Leftrightarrow\ln\e^0=\ln 1 \Leftrightarrow 0=\ln 1$).
\item $\ln\e=1$ (car $\e^1=\e\Leftrightarrow\ln\e^1=\ln\e\Leftrightarrow 1=\ln\e$).
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation}]
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\R*_+$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $\ln a<\ln b$.\\
Alors,
\begin{align*}
\ln a < \ln b & \Longleftrightarrow \e^{\ln a} < \e^{\ln b}\quad\text{car la fonction exponentielle est strictement croissante sur }\R\\
& \Longleftrightarrow a < b
\end{align*}

D'où le résultat.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien}]
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R*_+\times\R*_+,\ \ln(ab)=\ln a + \ln b.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
D'une part, nous avons :
\[ \e^{\ln(ab)} = ab,\]
et d'autre part, nous avons :
\[ 
\e^{\ln a+\ln b}=\e^{\ln a}\times\e^{\ln b}=ab.
\]
Ainsi,
\[ \e^{\ln(ab)}=\e^{\ln a+\ln b}\]
et donc, parce que $x=y\Leftrightarrow\e^x=\e^y$ :
\[ \ln (ab)=\ln a + \ln b.\]

\vspace*{-2.2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Propriétés algébriques}]
Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier relatif. Alors :

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln a$
\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
\item $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$
\item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{enumerate}
\item $a\times\dfrac{1}{a}=1$ donc $\ln\left(a\times\dfrac{1}{a}\right)=\ln 1 = 0$.\\
On en déduit alors que $\ln a + \ln\dfrac{1}{a}=0$, soit $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$.

\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times\dfrac{1}{b}\right)=\ln a + \ln\dfrac{1}{b}=\ln a - \ln b$ d'après le point précédent.

\item La démonstration se fait par récurrence sur $n$ à l'aide de la propriété : \linebreak$\ln\left(a^2\right)=\ln (a\times a)=\ln a + \ln a = 2\ln a$.

\item $\ln a = \ln\left(\sqrt{a}^2\right) = 2\ln\sqrt{a}$. D'où le résultat, en divisant par deux.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln\dfrac{1}{3}=-\ln 3$
\item $\ln\dfrac{3}{2}=\ln 3-\ln 2$
\item $\ln8=\ln\left(2^3\right)=3\ln 2$
\item $\ln\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\ln 7$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equations},pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\forall\coord{a}{b}\in\R*_+\times\R*_+,\ \ln a = \ln b \Longleftrightarrow a = b.$
\item $\forall~k\in\R,\ \ln x = k \Longleftrightarrow x= \e^k$.
\item $\forall~k\in\R*_+,\ \e^x = k \Longleftrightarrow x= \ln k$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\ln a = \ln b & \Longleftrightarrow \e^{\ln a}=\e^{\ln b}\\
& = \Longleftrightarrow a = b.\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\ln x = k & \Longleftrightarrow \e^{\ln x}=\e^k\\
& \Longleftrightarrow x = \e^k.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^x=k & \Longleftrightarrow \ln\e^x=\ln k\\
& \Longleftrightarrow x = \ln k.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Inéquations},pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\forall\coord{a}{b}\in\R*_+\times\R*_+,\ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a < b.$
\item $\forall~k\in\R,\ \ln x < k \Longleftrightarrow x< \e^k$.
\item $\forall~k\in\R*_+,\ \e^x < k \Longleftrightarrow x< \ln k$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

Ces propriétés se démontrent de la même façon que les précédentes.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Dérivée de la fonction logarithme népérien (admis)}]
Sur \intervOO{0}{+\infty}, la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse.
\[ \left(\ln x\right)^\prime = \frac{1}{x}.\]
\end{pasbox}

Par ce théorème, on retrouve la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $\R*_+$ car sur cet ensemble, $\dfrac{1}{x}>0$.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Limites aux bornes du domaine de définition},pluriel]
\[ \limite[x>0]{x}{0}{\ln x} = -\infty\qquad;\qquad\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.\]
\end{pasbox}

Nous avions pu constater cela dès le début de ce chapitre en regardant les courbes tracées. Cette propriété résulte du fait que la courbe représentative de la fonction $\ln$ est symétrique à celle de la fonction exponentielle par rapport à la 1\iere{} bissectrice.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Croissance comparée à l'infini}]
\[ \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Nous savons que $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\e^X}{X}=+\infty$, donc $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{X}{\e^X}=0$.\\
En posant $X = \ln x$, on a bien $\lim\limits_{x\to+\infty} X = +\infty$ et donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\e^{\ln x}}=0$, d'où le résultat.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Cela signifie que la fonction $\ln$ croît moins vite que la fonction $x \mapsto x$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Une limite en 0}]
\[ \limite[x>0]{x}{0}{x\ln x}=0.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On peut écrire :
\[ x\ln x = -x\ln\dfrac{1}{x}=-\dfrac{\ln\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}=-\dfrac{\ln X}{X},\qquad\text{en posant }X=\dfrac{1}{x}.\]
Or, $\limite[x>0]{x}{0}{\dfrac{1}{x}}=+\infty$. D'où :
\vspace*{-1.5em}
\[ \limite[x>0]{x}{0}{x\ln x}=\lim_{X\to+\infty}\left(-\dfrac{\ln X}{X}\right)=0\qquad(\text{d'après la propriété précédente.}\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
\[ \lim_{h\to0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}=1.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=\ln x$. Alors, $f'(x)=\dfrac{1}{x}$.\\
De plus,
\[ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]
donc :
\[ \lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=f'(1)=1.\]
Or, $f(1)=0$. D'où le résultat.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Conservation du sens de variation par composition}]
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I telle que $u(x)>0$ sur I.\\
Alors, la fonction définie par $\ln u$ possède les mêmes variations que $u$ sur I.
\end{pasbox}

Ce théorème résulte de la propriété $a<b \Longleftrightarrow \ln a<\ln b$.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Dérivée de $\ln u$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I telle que $u(x)>0$ sur I.\\
Alors,
\[ \left(\ln u\right)^\prime=\dfrac{u^\prime}{u}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On sait que :
\[ \left(\e^v\right)'=v'\e^v\]
donc en posant $v=\ln u$, on a :
\[ \left(\e^{\ln u}\right)'=\left(\ln u\right)'\e^{\ln u}\]
soit :
\[ u'=\left(\ln u\right)'\times u\]
ou encore :
\[ \dfrac{u'}{u}=\left(\ln u\right)'.\]

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Logarithme décimal}]
La fonction \definmot{logarithme décimal}, notée \definmot{log}, est la fonction définie par :
\[
\fonction[\text{log}]{\R*_+}{\R}{x}{\frac{\ln x}{\ln 10}}
\]
\end{pasbox}

Cette fonction a été proposée à Néper par Henry Briggs pendant les étés 1615 et 1616 dans le but de rendre plus pratiques les logarithmes pour les personnes utilisant souvent le nombre 10.

\medskip

Les propriétés du logarithme décimal sont les mêmes que celle du logarithme népérien, ceux-ci étant proportionnels.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Nombre de chiffres}]
Soit $x$ un nombre réel positif.\\
Le nombre de chiffres de l'écriture décimale de $x$ est égal à $\text{E}(\log x)+1$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,notitlebreak]
Posons : $x=p\times10^k$, $1\leqslant p<10$ et $k\in\Z$.
\begin{align*}
1\leqslant p< 10 & \Longleftrightarrow 0 \leqslant \log p< 1\\
& \Longleftrightarrow k \leqslant \log p + k < 1+k\\
& \Longleftrightarrow k \leqslant \log p + k\log 10 < 1+k\\
& \Longleftrightarrow k \leqslant \log\left(p\times10^k\right)<1+k\\
& \Longleftrightarrow k \leqslant \log x< 1+k.
\end{align*}

On en déduit alors que $k=\text{E}(\log x)$ (partie entière de $\log x$) et donc :
\[ x=p\times10^k=p\times10^{\text{E}(\log x)}. \]
\breakbox
Or, $1\leqslant p<10$, donc :
\[ 10^{\text{E}(\log x)}\leqslant x<10^{\text{E}(\log x)+1}.\]
%\breakbox
L'écriture décimale de $x$ comporte donc autant de chiffres que $10^{\text{E}(\log x)}$ ; autrement dit, l'écriture décimale de $x$ comporte $\text{E}(\log x)+1$ chiffres.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Prenons $x=\numprint{2013}^{\numprint{2013}}$.\\
Alors, l'écriture décimale de $x$ comporte $\text{E}(\log x)+1$ chiffres.\\
Or, $\log x = \numprint{2013}\log\numprint{2013}\approx\numprint{6650,64}$. Donc, il y a \numprint{6651} chiffres dans l'écriture décimale de $\numprint{2013}^{\numprint{2013}}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $n$ un entier naturel non nul à $p$ chiffres.\\
Alors,
\[ p-1 \leqslant \log n <p.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $n$ un nombre entier à $p$ chiffres. On a alors :
\[ 10^{p-1} \leqslant n < 10^p ,\]
d'où :
\[ 
\log\left(10^{p-1}\right) \leqslant \log n < \log\left(10^p\right),\]
soit :
\[ p-1\leqslant \log n < p.\]

\vspace*{-1.8em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Prenons $n=\numprint{2013}$. Alors, $3\leqslant\log\numprint{2013}<4$ car \numprint{2013} comporte 4 chiffres.
\end{pasbox}

Cette dernière propriété peut servir en chimie, lors d'un calcul de pH.\\
En effet, le pH d'une solution aqueuse est définie comme étant :
\[
\text{pH}=-\log\left[\text{H}_3\text{O}^+ \right]\; ,
\]
où $\left[\text{H}_3\text{O}^+ \right]$ représente la concentration de la solution en ions $\text{H}_3\text{O}^+$ (exprimée en $\text{mol}\cdot\ell^{-1}$).\\
On se sert aussi du logarithme décimal pour mesurer certaines intensités, comme celle d'un séisme ou d'un son (en décibel), ou encore la luminosité d'une étoile (en erg/s, ou 1 reg/s=$10^{-7}$ W).
\end{document}	