\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Géométrie dans l'espace}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Géométrie euclidienne plane
\item Produit scalaire dans le plan
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droites parallèles}]
Soient $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ deux droites de l'espace.\\
On dit qu'elles sont \definmot{parallèles} si elles vérifient les deux conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item elles sont coplanaires ;
\item elles sont confondues ou n'ont aucun point en commun.
\end{itemize}
On note alors : $\mathscr{D}//\mathscr{D}'$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dans l'espace, deux droites sans intersection  ne sont pas nécessairement parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel,name={Propriétés sur les droites}]
\begin{itemize}
\item Deux droites parallèles à une m\^eme droite sont parallèles entre elles.
\item Il n'existe qu'une seule droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur à cette droite.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droite parallèle à un plan}]
Une droite est \definmot{parallèle à un plan} si l'intersection des deux est vide.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel,name={Propriétés sur les plans et les droites}]
\begin{itemize}
\item Si deux plans non confondus de l'espace ont un point en commun, alors leur intersection est une droite contenant ce point.
\item Si une droite est parallèle à un plan, toute droite parallèle à la première est parallèle au plan.
\item Il n'existe qu'un seul plan parallèle à un plan donné passant par un point donné.
\item Si deux plans sont parallèles à un troisième, alors ils sont parallèles entre eux. 
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm]
Si un plan contient deux droites sécantes et parallèles à un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si $\mathscr{D}$ est une droite parallèle à un plan $\mathscr{P}$, alors tout plan $\mathscr{P}'$ contenant $\mathscr{D}$ non parallèle à $\mathscr{P}$ coupe ce dernier en une droite parallèle à $\mathscr{D}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Théorème du toit}]
Soient $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ contenant respectivement deux droites parallèles $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.\\
Si les deux plans sont sécants, alors leur intersection est une droite parallèle à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Trouver l'intersection de deux plans}]
Pour déterminer l'intersection de deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sécants selon une droite $\mathscr{D}$, on peut :
\begin{itemize}
\item soit trouver deux points distincts A et B appartenant aux deux plans ; on a alors $\mathscr{D}=$(AB).
\item soit trouver un point A sur les deux plans et une droite $\Delta$ dans un plan, qui est parallèle à l'autre plan.$\mathscr{D}$ est la droite parallèle à $\Delta$ passant par A.
\item soit trouver un point A sur les deux plans et une droite $\Delta$ intersection de $\mathscr{P}$ et d'un plan parallèle à $\mathscr{P}'$. $\mathscr{D}$ est la droite parallèle à $\Delta$ passant par A.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan}]
Pour déterminer l'intersection d'une droite $\mathscr{D}$ et d'un plan $\mathscr{P}$, on peut :
\begin{itemize}
\item soit trouver une droite $\Delta$ de $\mathscr{P}$ coplanaire et sécante avec $\mathscr{D}$. Alors, $\mathscr{D}\cap\mathscr{P}=\mathscr{D}\cap\Delta$.

\item soit trouver un plan $\mathscr{P}'$ contenant $\mathscr{D}$, puis déterminer l'intersection des plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$. Alors, $\mathscr{D}\cap\mathscr{P}=\mathscr{D}\cap\Delta$. C'est la \emph{méthode du plan auxiliaire}.
\end{itemize}
\end{pasbox}

Nous allons maintenant aborder la notion de vecteurs dans l'espace. Nous verrons que nous n'allons que généraliser ce que nous avons vu pour les vecteurs du  plan.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteurs dans l'espace}]
Un vecteur de l'espace est un objet géométrique défini par :
\begin{itemize}
\item son sens
\item son orientation
\item sa norme
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soient un point A et un vecteur $\vv{u}$ de l'espace.\\
Il existe un unique point M de l'espace tel que : $\vv{\text{AM}}=\vv{u}$.
\end{pasbox}

De plus, toutes les règles de calculs valables dans le plan le sont aussi dans l'espace (addition, relation de Chasles, etc.), de m\^eme que les règles de colinéarité ou de vecteur directeur de droites.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteurs coplanaires}]
Soient $\vv{u},\ \vv{v}$ et $\vv{w}$ trois vecteurs de l'espace.\\
Soit O un point quelconque. On considère alors trois points A, B et C tels que :
\[ \vv{\text{OA}}=\vv{u}\quad,\quad\vv{\text{OB}}=\vv{v}\quad\text{et}\quad\vv{\text{OC}}=\vv{w}.\]
Les vecteurs $\vv{u},\ \vv{v}$ et $\vv{w}$ sont dits \definmot{coplanaires} si les points O, A, B et C sont coplanaires.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace.\\
Les vecteurs $\vv{u},\ \vv{v}$ et $\vv{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que :
\[ \vv{w}=\lambda\vv{u}+\mu\vv{v}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit A un point de l'espace appartenant à un plan $\mathscr{P}$.\\
Soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs non colinéaires de direction respective parallèle à $\mathscr{P}$.\\
Alors, $\mathscr{P}$ est l'ensemble des points M de l'espace tels que :
\[ \vv{\text{AM}}=\lambda\vv{u}+\mu\vv{v},\]
où $\lambda$ et $\mu$ sont deux nombres réels.\\
On note alors : $\mathscr{P}=\left(\text{A}\mathpunct{};\vv{u},\vv{v}\right)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soient A et B deux points de l'espace, et soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace.\\
Alors, les plans $\left(\text{A}\mathpunct{};\vv{u},\vv{v}\right)$ et $\left(\text{B}\mathpunct{};\vv{u},\vv{v}\right)$ sont parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm]
Soient $\vv{i}$, $\vv{j}$ et $\vv{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l'espace $\mathscr{E}$. Alors, \\
\[
\forall~\vv{u}\in\mathscr{E},\ \exists~\coordEsp{x}{y}{z}\in\R^3\vert~\vv{u}=x\vv{i}+y\vv{j}+z\vv{k}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{itemize}
\item \textbf{Existence.}\\
Soient O, A, B, C et M des points de $\mathscr{E}$ tels que $\vv{\text{OA}}=\vv{i}$, $\vv{\text{OB}}=\vv{j}$, $\vv{\text{OC}}=\vv{k}$ et $\vv{\text{OM}}=\vv{u}$.\\
O, A et B définissent un plan car $\vv{i}$, $\vv{j}$ et $\vv{k}$ ne sont pas coplanaires. Ainsi, la droite (OC) et le plan (OAB) sont sécants.

\item[] Par conséquent, la parallèle à (OC) passant par M coupe le plan (OAB). Notons M' le point d'intersection.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,3) -- (8,3) -- (6,0) -- cycle;
\draw[->,>=stealth'] (3,1.5) node[left] {O} -- (5,2) node[above right] {B} node[midway,above] {$\vv{j}$};
\draw[->,>=stealth'] (3,1.5) -- (4.5,1) node[below right] {A} node[midway,below] {$\vv{i}$};
\draw[->,>=stealth'] (3,1.5) -- (3.2,4) node[right] {C} node[midway,left] {$\vv{k}$};
\draw[blue!50!black,thick] (6.5,1.5) node[below] {M'} -- (6.7,4) node[right] {M};
\end{tikzpicture}
\end{center}
M' appartient au plan (OAB) donc les vecteurs $\vv{i}$, $\vv{j}$ et $\vv{\text{OM'}}$ sont coplanaires ; il existe donc deux réels $x$ et $y$ tels que $\vv{\text{OM'}}=x\vv{i}+y\vv{j}$.\\
De plus, (MM') et (OC) sont parallèles donc les vecteurs $\vv{\text{MM'}}$ et $\vv{k}$ sont colinéaires. Il existe donc un réel $z$ tel que $\vv{\text{M'M}}=z\vv{k}$.\\
On en déduit alors :
\[ \vv{u}=\vv{\text{OM}}=\vv{\text{OM'}}+\vv{\text{M'M}}=x\vv{i}+y\vv{j}+z\vv{k}.\]

\item \textbf{Unicité.}\\
Supposons qu'il existe deux triplets $\coordEsp{x}{y}{z}$ et $\coordEsp{x'}{y'}{z'}$ tels que :
\[ \vv{u}=x\vv{i}+y\vv{j}+z\vv{k}=x'\vv{i}+y'\vv{j}+z'\vv{k}.\]
Alors,
\[ (x-x')\vv{i}+(y-y')\vv{j}+(z-z')\vv{k}=\vv{0}.\]
Supposons que $z-z'\neq0$. Alors,
\[ \vv{k}=\dfrac{x-x'}{z'-z}\vv{i}+\dfrac{y-y'}{z'-z}\vv{j},\]
ce qui contredit le fait que les vecteurs $\vv{i}$, $\vv{j}$ et $\vv{k}$ ne sont pas coplanaires. On en déduit alors que $z=z'$.\\
Avec un raisonnement analogue sur $x$ et $y$, on montre que $x=x'$ et $y=y'$.\\
D'où l'unicité du triplet.\vspace*{-2em}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Base de l'espace et coordonnées},pluriel]
Soient $\vv{i}$, $\vv{j}$ et $\vv{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Soit $\vv{u}$ un vecteur quelconque de l'espace.
\begin{itemize}
\item On dit que $\left(\vv{i},\vv{j},\vv{k}\right)$ est une \definmot{base} de l'espace ;
\item Si $\vv{u}=x\vv{i}+y\vv{j}+z\vv{k}$, alors on dit que le triplet $\coordEsp{x}{y}{z}$ constitue les \definmot{coordonnées} de $\vv{u}$ dans la base $\left(\vv{i},\vv{j},\vv{k}\right)$.\\
$x$ est appelé l'\definmot{abscisse}, $y$ l'\definmot{ordonnée} et $z$ la \definmot{c\^ote} de $\vv{u}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

Les opérations sur les coordonnées ainsi que les règles sont les m\^emes que dans le plan (addition, multiplication par un réel, colinéarité, milieu).

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Repère de l'espace}]
Pour tout point O de l'espace, on dit que \Rijk{} est un \definmot{repère de l'espace} si les vecteurs $\vv{i}$, $\vv{j}$ et $\vv{k}$ ne sont pas coplanaires.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Différents calculs dans un repère}]
Dans un repère \Rijk, soient A\coordEsp{-1}{2}{-3}, B\coordEsp{2}{-2}{-1} et C\coordEsp{0}{3}{-2}.
\begin{itemize}
\item $\vv{\text{AB}}\coordEsp{2-(-1)}{-2-2}{-1-(-3)}$, soit $\vv{\text{AB}}\coordEsp{3}{-4}{2}$.
\item $\vv{\text{AC}}\coordEsp{0-(-1)}{3-2}{-2-(-3)}$, soit $\vv{\text{AC}}\coordEsp{1}{1}{1}$.
\item $\vv{\text{BC}}\coordEsp{0-2}{3-(-2)}{-2-(-1)}$, soit $\vv{\text{BC}}\coordEsp{-2}{5}{-1}$.
\item Il n'y a pas de triplet proportionnel donc il n'y a pas de vecteur colinéaire. Ainsi, A, B et C forment un plan.
\item Le milieu I de [AB] est :
\[ \text{I}\coordEsp{\frac{-1+2}{2}}{\frac{2-2}{2}}{\frac{-3-1}{2}}=\coordEsp{\frac{1}{2}}{0}{-2}.\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Représentation paramétrique d'un plan}]
Soit A\coordEsp{x_\text{A}}{y_\text{A}}{z_\text{A}} un point de l'espace, et soient $\vv{u}\coordEsp{a}{b}{c}$ et $\vv{v}\coordEsp{a'}{b'}{c'}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace.\\
On dit que le plan $\left(\text{A};\vv{u},\vv{v}\right)$ a pour représentation paramétrique :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=x_\text{A}+\lambda a+\mu a'\\
y=y_\text{A}+\lambda b+\mu b'\\
z=z_\text{A}+\lambda c+\mu c'
\end{array}
\right.\quad,\quad \coord{\lambda}{\mu}\in\R^2.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le plan de représentation paramétrique :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=5+2\lambda-6\mu\\
y=3-\lambda+\mu \\
z=-2+3\lambda-5\mu
\end{array}
\right.\quad,\quad \coord{\lambda}{\mu}\in\R^2.
\]
caractérise le plan $\left(\text{A};\vv{u},\vv{v}\right)$, où A\coordEsp{5}{3}{-2}, $\vv{u}\coordEsp{2}{-1}{3}$ et $\vv{v}\coordEsp{-6}{1}{-5}$, car $\vv{u}$ et $\vv{v}$ ne sont pas colinéaires.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Représentation paramétrique d'une droite}]
Soit A\coordEsp{x_\text{A}}{y_\text{A}}{z_\text{A}} un point de l'espace, et soit $\vv{u}\coordEsp{a}{b}{c}$ un vecteur de l'espace.\\
On dit que le système :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=x_\text{A}+ ka\\
y=y_\text{A}+ kb\\
z=z_\text{A}+ kc
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\R
\]
est une représentation paramétrique de la droite de vecteur directeur $\vv{u}$ passant par A.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soient A\coordEsp{-1}{1}{3} et B\coordEsp{5}{-2}{-3} deux points d'un repère \Rijk.\\
Alors, 
\[ \vv{\text{AB}}\coordEsp{6}{-3}{-6}.\]
Un vecteur directeur de (AB) peut donc \^etre $\vv{u}\coordEsp{-2}{1}{2}$.\\
Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=-1-2k\\
y=1+k\\
z=3+2k
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\R
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Orthogonalité de droites et de vecteurs de l'espace},pluriel]
\begin{itemize}
\item On dit que deux droites du plan sont \definmot{orthogonales} lorsque leurs parallèles respectives passant par un m\^eme point sont perpendiculaires.
\item On dit que deux vecteurs sont \definmot{orthogonaux} lorsque leur support sont orthogonaux.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{attention}[0.7]
Deux droites perpendiculaires sont nécessairement coplanaires alors que deux droites orthogonales ne le sont pas forcément.
\end{attention}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
\begin{itemize}
\item Si deux droites sont orthogonales, alors toute parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.
\item Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Orthogonalité droite/plan}]
Une droite est dite \definmot{orthogonale à un plan} si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm]
Si une droite $\mathscr{D}$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $\mathscr{P},$ alors elle est orthogonale à $\mathscr{P}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
\begin{itemize}
\item Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles.

\item Si deux droites sont parallèles, et si l'une est orthogonale à un plan, alors l'autre l'est aussi.

\item Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Plans perpendiculaires}]
On dit que deux plans sont \definmot{perpendiculaires} si l'un d'eux contient une droite orthogonale à l'autre plan.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
\begin{itemize}
\item Si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
\item Si un plan $\mathscr{P}$ est orthogonal à une droite $\mathscr{D}$ et perpendiculaire à un plan $\mathscr{P}'$, alors $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}'$ sont parallèles.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteur normal à un plan}]
Soit $\mathscr{P}$ un plan et $\mathscr{D}$ une droite orthogonale à $\mathscr{P}$.\\
On dit qu'un vecteur $\vv{u}$ est \definmot{normal} à $\mathscr{P}$ si $\vv{u}$ est un vecteur directeur de $\mathscr{D}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Projeté orthogonal d'un point sur un plan}]
Soient $\mathscr{P}$ un plan et M un point de l'espace extérieur à $\mathscr{P}$. Soit alors $\mathscr{D}$ la droite orthogonale à $\mathscr{P}$ passant par M.\\
On définit le \definmot{projeté orthogonal} de M sur $\mathscr{P}$ comme étant le point d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Projeté orthogonal d'un point sur une droite}]
Soient $\mathscr{D}$ une droite de l'espace et M un point de l'espace extérieur à $\mathscr{D}$. Soit alors $\mathscr{P}$ le plan orthogonal à $\mathscr{D}$ passant par M.\\
On définit le \definmot{projeté orthogonal de M} sur $\mathscr{D}$ comme étant le point d'intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Les propriétés valables dans le plan sur les produits scalaires le sont aussi dans l'espace.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm]
Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un m\^eme plan, alors elle est orthogonale à ce plan.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soient $\mathscr{D}$ une droite, $\mathscr{P}$ un plan, $\Delta$ et $\Delta'$ deux droites sécantes de $\mathscr{P}$. On suppose que $\mathscr{D}$ et $\Delta$ (resp. $\mathscr{D}$ et $\Delta'$) sont orthogonales. On veut montrer que $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire que $\mathscr{D}$ est orthogonale à toutes les droites de $\mathscr{P}$.\\
Considérons une droite $\Delta''$ du plan $\mathscr{P}$.\\
Les vecteurs $\vv{u}$, $\vv{v}$, $\vv{v}'$ et $\vv{v}''$ sont des vecteurs directeurs de, respectivement, $\mathscr{D}$, $\Delta$, $\Delta'$ et $\Delta''$.\\
On a donc : $\vv{u}\cdot\vv{v}=\vv{u}\cdot\vv{v'}=0$.\\
De plus, les vecteurs $\vv{v}$, $\vv{v'}$ et $\vv{v''}$ sont coplanaires donc il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vv{v''}=x\vv{v} +y\vv{v'}$. On en déduit :
\[
\vv{u}\cdot\vv{v''}=\vv{u}\cdot\left(x\vv{v}+y\vv{v'}\right)=x\times\left(\vv{u}\cdot\vv{v}\right)+y\times\left(\vv{u}\cdot\vv{v'}\right)=0,
\]
ce qui prouve que $\Delta''$ est orthogonale à $\mathscr{P}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Repère orthonormé}]
Un repère \Rijk{} est dit \definmot{orthonormé} (ou \definmot{orthonormal}) si :
\[
\vv{i}\cdot\vv{j}=\vv{j}\cdot\vv{k}=\vv{k}\cdot\vv{i}=0\quad\text{et}\quad\|\vv{i}\|=\|\vv{j}\|=\|\vv{k}\|=1.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Quand la condition $\|\vv{i}\|=\|\vv{j}\|=\|\vv{k}\|=1$ n'est pas satisfaite, on dit que le repère est \definmot{orthogonal}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit M\coordEsp{x}{y}{z} un point dans le repère orthonormé \Rijk.\\
Alors,
\[
\text{OM}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Dans le repère orthonormé \Rijk, soient A\coordEsp{x_\text{A}}{y_\text{A}}{z_\text{A}} et B\coordEsp{x_\text{B}}{y_\text{B}}{z_\text{B}}.\\
Alors,
\[
\|\vv{\text{AB}}\|=\sqrt{\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2 + \left(y_\text{B}-y_\text{A}\right)^2 + \left(z_\text{B}-z_\text{A}\right)^2}.
\]
\end{pasbox}

Ces deux dernières propriétés se démontrent à l'aide du théorème de Pythagore.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Dans le repère orthonormé \Rijk, soient $\vv{u}\coordEsp{x}{y}{z}$ et $\vv{v}\coordEsp{x'}{y'}{z'}$.\\
Alors,
\[
\vv{u}\cdot\vv{v}=xx'+yy'+zz'.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On a:
\begin{align*}
\vv{u}\cdot\vv{v} & = \frac{1}{2}\left(\|\vv{u}\|^2+\|\vv{v}\|^2-\|\vv{u}-\vv{v} \|^2 \right)\\
& = \frac{1}{2}\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x'^2+y'^2+z'^2\right)-\left((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2 \right) \right]\\
& = xx'+yy'+zz'.
\end{align*}

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soient $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vv{n}$ et $\vv{n'}$.\\
Alors,
\[ \mathscr{P}\perp\mathscr{P}' \Longleftrightarrow \vv{n}\cdot\vv{n'}=0.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equation cartésienne d'un plan}]
Dans un repère \Rijk,
\begin{itemize}
\item Tout plan $\mathscr{P}$ de vecteur normal $\vv{n}\coordEsp{a}{b}{c}$, $a\neq0$, $b\neq0$, $c\neq0$, admet pour équation cartésienne :
\[ \mathscr{P}{}:{} ax+by+cz+d=0.\]
\item Réciproquement, l'ensemble des points M\coordEsp{x}{y}{z} tels que $ax+by+cz+d=0$, avec $a\neq0$, $b\neq0$ et $c\neq0$, est un plan de vecteur normal $\vv{n}\coordEsp{a}{b}{c}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le plan d'équation $3x-5y+2z-1=0$ est un plan de vecteur normal $\vv{n}\coordEsp{3}{-5}{2}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Détermination d'une représentation paramétrique de l'intersection de 2 plans}]
On considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ d'équations respectives :
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}{}:{}2x+3y-z+5=0\\
\mathscr{P}'{}:{}x+y+1=0
\end{array}
\]
Nous souhaitons déterminer une représentation paramétrique de l'intersection de ces deux plans si elle existe.\\
Pour cela, on \og résout \fg{} le système suivant, en conservant une inconnue et en la considérant comme un paramètre (ici, $z$) :
\begin{align*}
\systeme{2x+3y-z=-5,x+y=-1} & \Leftrightarrow \systeme{2x+3y=z-5,2x+2y=-2}\\
& \Leftrightarrow \systeme{y=z-3,x=-1-(z-3)}\\
& \Leftrightarrow \systeme{y=z-3,x=-z+2}\\
& \Leftrightarrow \systeme{x=-t+2,y=t-3,z=t}\quad,\quad t\in\R
\end{align*}
L'intersection des deux plans existe et est la droite passant par le point A\coordEsp{2}{-3}{0} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{-1}{1}{1}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Intersection d'une droite et d'un plan},notitlebreak]
On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation :
\[ 5x+y-z+3=0\]
et la droite $\mathscr{D}$ passant par A\coordEsp{0}{1}{3} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{1}{0}{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{On vérifie d'abord que $\pmb{\mathscr{P}}$ et $\pmb{\mathscr{D}}$ se coupent en un point.}\\
Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vv{n}\coordEsp{5}{1}{-1}$ ; donc, $\vv{u}\cdot\vv{n}=5\times1+1\times0+(-1)\times3=2\neq0$ donc $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à $\mathscr{P}$ : il y a donc un point unique d'intersection.\\
Appelons-le I.

\medskip

\item \textbf{Déterminons les coordonnées de I.}\\
La représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ est :
\[
\systeme{x=t,y=1,z=3+3t}\quad,\quad t\in\R.
\]
\'Etant donné que I appartient à $\mathscr{D}$, il existe un réel $k$ tel que I\coordEsp{k}{1}{3k+3}.

\item[] En substituant les valeurs de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $k$ dans l'équation cartésienne de $\mathscr{P}$, on a :
\begin{align*}
& 5k+1-(3+3k)+3=0\\
\Leftrightarrow\ & 2k+1=0\\
\Leftrightarrow\ & k=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
Finalement, on a : I\coordEsp{-\dfrac{1}{2}}{1}{\dfrac{3}{2}}.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Distance d'un point à un plan}]
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Rijk.

Soit $\mathscr{P}$ un plan d'équation cartésienne :
\[ \mathscr{P}~:~ax+by+cz+d=0\]
et soit A\coordEsp{x_\text{A}}{y_\text{A}}{z_\text{A}} un point quelconque de l'espace.

\par

La distance du point A au plan $\mathscr{P}$ est :
\[
d\left(\text{A}\mathpunct{};\mathpunct{}\mathscr{P}\right)=\dfrac{|ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,notitlebreak]
Notons M le projeté orthogonal de A sur $\mathscr{P}$. Alors, (AM) est orthogonale à $\mathscr{P}$, donc admet pour vecteur directeur un vecteur normal à ce plan, soit $\vv{u}\coordEsp{a}{b}{c}$ et donc (AM) a pour représentation paramétrique :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l@{~=~}l}
x & x_\text{A}+at\\
y & y_\text{A}+bt\\
z & z_\text{A}+ct\\
\end{array}
\right.\qquad,\qquad t\in\R.
\]

M étant le point d'intersection de cette droite et de $\mathscr{P}$, on a:
\[ a\left(x_\text{A}+at\right)+b\left(y_\text{A}+bt\right)+c\left(z_\text{A}+ct\right)+d=0\;,
\]
soit :
\[
t=-\dfrac{ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d}{a^2+b^2+c^2}.
\]

On a alors :
\begin{align*}
\text{AM}^2 & = \left(x_\text{M}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{M}-y_\text{A}\right)^2+\left(z_\text{M}-z_\text{A}\right)^2\\
\text{AM}^2& = \left(-a\dfrac{ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d}{a^2+b^2+c^2}\right)^2+\left(-b\dfrac{ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d}{a^2+b^2+c^2}\right)^2+\left(-c\dfrac{ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d}{a^2+b^2+c^2}\right)^2\\
\text{AM}^2& = \left(a^2+b^2+c^2\right)\dfrac{\left(ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\\
\text{AM}^2& = \dfrac{\left(ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\\
\text{AM} & = \dfrac{\left|ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\end{align*}
\end{pasbox}
\end{document}	