\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Probabilités continues}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Intégration
\item Fonction exponentielle
\item Conditionnement et indépendance
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Variable aléatoire discrète}]
On considère une expérience aléatoire sur un univers $\Omega$ \textbf{fini}.\\
Une \definmot{variable aléatoire X} est une application de $\Omega$ dans \R{} qui, à chaque issue, associe un nombre réel.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Si l'on considère l'expérience aléatoire consistant à jeter un dé cubique non truqué, et si X est la variable aléatoire représentant l'ensemble des issues possibles, alors $\text{X}=\{1;2;3;4;5;6\}$.
\[
\fonction[\text{X}]{\Omega}{\entInterv{1}{6}}{\omega}{\text{X}(\omega)}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète}]
Soit $\text{X}\;:\;\Omega \rightarrow \R$ une variable aléatoire.\\
La \definmot{loi de probabilité de X} est la donnée :

\begin{enumerate}
\item Des valeurs possibles $\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ prises par X ;
\item Des probabilités $\probavar{X}{x_i}$, pour $i$ variant de 1 à $n$, de sorte que :
\[
\sum_{i=1}^n \probavar{X}{x_i}=1.
\]
\end{enumerate}

En général, on donne la loi de probabilité de X sous forme de tableau.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans le cas de l'exemple précédent (du dé cubique), la loi de probabilité de X est :
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\[
\begin{array}{|*7{c|}}
\hline
x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\
\hline
\end{array}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète}]
Soit $\text{X}=\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ une variable aléatoire. On note, pour $i$ variant de 1 à $n$,\linebreak$p_i=\probavar{X}{x_i}$.\\
On définit l'\definmot{espérance mathématique} de X par :
\[ \esp{X}=\sum_{i=1}^n x_ip_i\; .\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans notre exemple précédent,

$\begin{aligned}[t]
\esp{X} & =1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{6}+3\times\dfrac{1}{6}+4\times\dfrac{1}{6}+5\times\dfrac{1}{6}+6\times\dfrac{1}{6}\\
& = (1+2+3+4+5+6)\times\dfrac{1}{6}\\
& = \dfrac{21}{6}
\end{aligned}$
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Densité de probabilité}]
Une fonction $f\;:\; I=\intervFF{a}{b} \rightarrow \R$ est une \definmot{densité de probabilité} si :
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue sur $I$ ;
\item $\forall x\in I,\ f(x)\geqslant 0$ ;
\item $\dint_a^b f(x)\dx=1$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item \fonction[f]{\intervFF{0}{1}}{\R}{x}{1} est une loi de densité.
\item \fonction[f]{\intervFO{0}{+\infty}}{\R}{x}{\e^{-x}} est une loi de densité.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi de probabilité à densité}]
Soit X une variable aléatoire.\\
On dit que \definmot{X est à densité f sur I} si :
\begin{enumerate}
\item $f$ est une loi de densité ;
\item $\forall J\subseteq I,\ \probavar[\in]{X}{J}=\dint_J f(x)\dx$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère une variable aléatoire X à densité $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}, où $f(x)=\e^{-x}$.\\
$f$ est une loi de densité (vu dans l'exemple précédent) et donc :
\begin{align*}
\probavar[\in]{X}{\intervFF{1}{2}}& =\int_1^2\e^{-x}\dx\\
& = \left[-\e^{-x} \right]_1^2\\
& = \e^{-1}-\e^{-2}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Union d'intervalles (Admise)}]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.\\
Soient alors J et J' deux intervalles disjoints inclus dans I. Alors,
\[ \probavar[\in]{X}{\text{J}\cup\text{J'}}=\probavar[\in]{X}{\text{J}}+\probavar[\in]{X}{\text{J'}}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.
\begin{enumerate}
\item $\forall \alpha \in \text{I},\ \probavar{X}{\alpha}=0$ ;
\item $\forall \coord{c}{d}\in\text{I}\times\text{I},\ \text{P}\left(c \leqslant \text{X} \leqslant d\right)=\text{P}\left(c < \text{X} \leqslant d\right)=\text{P}\left(c \leqslant \text{X} < d\right)=\text{P}\left(c < \text{X} < d\right)$.
\item $\forall~\text{J}\subseteq\text{I},\ \probavar[\in]{X}{\evcont{J}}=1-\probavar[\in]{X}{\text{J}}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{enumerate}
\item Par définition, $\probavar{X}{\alpha}= \dint_\alpha^\alpha f(x)\dx=0$.
\item Le passage des inégalités larges aux inégalités strictes découlent de la propriété précédente.
\item On a $\probavar[\in]{X}{\text{I}}=1$, donc $\probavar[\in]{X}{\text{J}\cup\evcont{J'}}=1$, et ainsi $\probavar[\in]{X}{\text{J}}+\probavar[\in]{X}{\evcont{J'}}=1$, d'où le résultat.\vspace*{-1.8em}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Probabilités conditionnelles}]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.\\
Soit I' un intervalle de I tel que $\probavar[\in]{X}{\text{I}'}\neq0$.\\
On définit la probabilité conditionnelle $\probacond{\text{X}\in\text{J}}{(\text{X}\in\text{I'})}$ par :
\[
\probacond{\text{X}\in\text{J}}{(\text{X}\in\text{I'})}=\dfrac{\probavar[\in]{X}{(\text{J}\cap\text{I'})}}{\probavar[\in]{X}{\text{I'}}}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}, où $f(x)=\e^{-x}$. Alors,

$\begin{aligned}[t]
\probacond{\text{X}\in\intervFF{0}{5}}{(\text{X}\in\intervFF{3}{10})} & =\dfrac{\probavar[\in]{X}{\intervFF{3}{5}}}{\probavar[\in]{X}{\intervFF{3}{10}}}\qquad\text{car }\intervFF{0}{5}\cap\intervFF{3}{10}=\intervFF{3}{5}\\
& = \dfrac{\left[-\e^{-x}\right]_3^5}{\left[-\e^{-x}\right]_3^{10}}\\
& = \dfrac{\e^{-3}-\e^{-5}}{\e{-3}-\e^{-10}}\\
& \approx\numprint{0,865453908575}.
\end{aligned}$
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Espérance d'une variable à densité}]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.\\
On définit l'\definmot{espérance mathématique de X} par :
\[
\esp{X}=\int_a^b xf(x)\dx\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi uniforme sur \intervFF{a}{b}}]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.\\
On dit que \definmot{X suit la loi uniforme} si $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ et $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.\\
Alors,
\[
\forall\coord{c}{d}\in\text{I}\times\text{I},\ \probavar[\in]{X}{\intervFF{c}{d}}=\dfrac{d-c}{b-a}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
$f$ est continue et à valeurs positives sur I. De plus :

$\begin{aligned}[t]
\dint_c^d f(x)\dx & = \dint_c^d \dfrac{1}{b-a}\dx\\
& = \left[\dfrac{x}{b-a}\right]_c^d\\
& = \dfrac{c}{b-a}-\dfrac{d}{b-a}.
\end{aligned}$

On arrive alors au résultat souhaité.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On choisit au hasard un nombre entre 0 et 1. La probabilité qu'il soit compris entre 0,3 et 0,4 est :
\[
\probavar[\in]{X}{\intervFF{0,3}{0,4}}=0,4-0,3=0,1.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Espérance mathématique d'une loi uniforme}]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.\\
Alors, son espérance est :
\[
\esp{X}=\dfrac{a+b}{2}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
$\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = \dint_a^b \dfrac{x}{b-a}\dx\\
& = \left[\dfrac{x^2}{2(b-a)}\right]_a^b\\
& = \dfrac{b^2-a^2}{2(b-a)}\\
& = \dfrac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}\\
& = \dfrac{a+b}{2}
\end{aligned}$

On a alors le résultat souhaité.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi exponentielle}]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.\\
On dit que \definmot{X suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$} si $f(x)=\lambda \e^{-\lambda x}$ et \linebreak$\text{I}=\intervFO{0}{+\infty}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\text{I}=\intervFO{0}{+\infty}$.\\
Alors,
\[
\forall \coord{c}{d}\in\text{I}\times\text{I},\ \probavar[\in]{X}{\intervFF{c}{d}}=\e^{-\lambda c}-\e^{-\lambda d}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
$\begin{aligned}[t]
\probavar[\in]{X}{\intervFF{c}{d}} & = \dint_c^d \lambda\e^{-\lambda x}\dx\\
& = \left[-\e^{-\lambda x}\right]_c^d\\
& = -\e^{-\lambda d} + \e^{-\lambda c}.
\end{aligned}$

On a alors le résultat annoncé.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
On en déduit que pour $a>0$,
\[ \probavar[\geqslant]{X}{a} = \e^{-\lambda a} \qquad\text{et}\qquad \probavar[\leqslant]{X}{a}=1-\e^{-\lambda a}. \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Espérance mathématique d'une loi exponentielle}]
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda\neq 0$ sur\linebreak $\text{I}=\intervFO{0}{+\infty}$.\\
Alors,
\[
\esp{X}=\frac{1}{\lambda}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
$\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = \limite{t}{+\infty}{\dint_0^t \lambda x\e^{-\lambda x}\dx}\\
& = \limite{t}{+\infty}{\left[\left(-x-\dfrac{1}{\lambda}\right)\e^{-\lambda x} \right]_0^t}\qquad(\text{Intégration par parties)}\\
& = \limite{t}{+\infty}{\dfrac{1}{\lambda}\left(1-\e^{-\lambda t} -\lambda t\e^{-\lambda t}\right)}
\end{aligned}$

D'où le résultat annoncé.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Durée de vie sans vieillissement}]
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda\neq 0$ sur\linebreak $\text{I}=\intervFO{0}{+\infty}$.\\
Alors, pour tous réels $t$ et $h$,
\[
\probacond{\text{X}\geqslant t+h}{(\text{X}\geqslant t)}=\probavar[\geqslant]{X}{h}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
$\begin{aligned}[t]
\probacond{\text{X}\geqslant t+h}{(\text{X}\geqslant t)} & = \dfrac{\text{P}\left((\text{X}\geqslant t+h)\cap(\text{X}\geqslant t)\right)}{\probavar[\geqslant]{X}{t}}\\
& = \dfrac{\probavar[\geqslant]{X}{t+h}}{\probavar[\geqslant]{X}{t}}\\
& = \dfrac{\e^{-\lambda(t+h)}}{\e^{-\lambda t}}\\
& = \e^{-\lambda h}\\
& = \probavar[\geqslant]{X}{h}.
\end{aligned}$

On a alors le résultat souhaité.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Un appareil électronique a une durée de vie représentée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,03$.\\
La probabilité qu'il fonctionne plus de 5 ans sachant qu'il a déja fonctionné pendant un an est :
\[
\probacond{X\geqslant 1+4}{(X\geqslant 1)}=\e^{-0,03\times4}\approx\numprint{0,886920437}.
\]
On peut donc s'interroger sur l'utilité de prendre une extension de garantie sur 5 ans sur un appareil dont la garantie initiale est sur un an. En effet, si l'appareil est en bon état de fonctionner au bout d'un an, il le sera 4 années avec une probabilité de 0,9.
\end{pasbox}
\end{document}	