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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Loi normale, intervalles de fluctuation, estimation}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Variables aléatoires discrètes (avec espérance et écart-type)
\item Loi binomiale
\end{prerequis}

\newpage %---------------------- DEBUT DU COURS

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Loi binomiale (rappels)}]
Soit X une variable aléatoire discrète désignant le nombre de succès obtenus après $n$ répétitions d'une même expérience à deux issues. Si $p$ représente la probabilité d'obtenir un succès lors d'une expérience, X suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et on note :
\[ \text{X} \sim \mathscr{B}\coord{n}{p}.\]
Dans ce cas, on a :
\[ \forall~k\in\entInterv{0}{n},\ \probavar{X}{k}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\quad , \quad \esp{X}=np\quad\text{et}\quad\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.\]
\end{pasbox}

\input{graphiqueLoiBinomiale}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}}]
Un \definmot{intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}} relatif à un échantillon de taille $n$ est un intervalle dans lequel est la fréquence observée dans un échantillon de même taille $n$ avec une probabilité de \pourcent{95}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
En classe de Seconde, on a vu que \intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}} était un intervalle de fluctuation \emph{approché} au seuil de \pourcent{95} relatif aux échantillon de taille $n$.\\
Quelques fois, la probabilité que la fréquence appartienne à cet intervalle est très proche de 0,95 mais en étant inférieure (d'où le \og \emph{approché} \fg).\\
Dans la pratique, on utilise cet intervalle lorsque $p\in\intervFF{0,2}{0,8}$ et $n\geqslant25$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Variable aléatoire centrée réduite}]
On dit d'une variable aléatoire qu'elle est \definmot{centrée réduite} quand son espérance mathématique est nulle et son écart-type égal à 1.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Changement de variable aléatoire}]
Soit X une variable aléatoire d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma\neq0$.\\
Alors, la variable aléatoire Z définie par :
\[ \text{Z}=\dfrac{\text{X}-m}{\sigma}\]
est une variable aléatoire centrée réduite.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Rappelons les formules :
\[ \mathbb{E}(a\text{X}+b)=a\esp{X}+b\qquad;\qquad\sigma(a\text{X}+b)=\vert a\vert\sigma(\text{X}).
\]
Alors,
\begin{align*}
\esp{Z} & = \mathbb{E}\left(\frac{1}{\sigma}\text{X}-\frac{m}{\sigma}\right)\\
& = \frac{1}{\sigma}\esp{X}-\frac{m}{\sigma}\\
& = \frac{1}{\sigma}\times m-\frac{m}{\sigma}\\
& = 0
\end{align*}

et

\begin{align*}
\sigma(\text{Z}) & = \frac{1}{\sigma}\sigma\\
& = 1.
\end{align*}

Z est donc bien une variable aléatoire centrée réduite.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Théorème de Moivre-Laplace}]
Soit $p\in\intervOO{0}{1}$ et soit, pour $n\in\N$, $\text{X}_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$. On pose alors :
\[ \text{Z}_n=\frac{\text{X}_n-m}{\sigma_n}\]
où $m=\mathbb{E}(\text{X}_n)$ et $\sigma_n$ l'écart-type de $\text{X}_n$.\\
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, $a<b$, on a :
\[
\limite{n}{+\infty}{\text{P}\left(a\leqslant \text{Z}_n\leqslant b\right)}=\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}\dx}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi normale centrée réduite}]
Une variable aléatoire X à densité $f$ sur I suit une \definmot{loi normale centrée réduite} si \linebreak$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}$ et $\text{I}=\intervFF{a}{b}$, $a$ et $b$ étant deux réels, $a<b$.\\
On note alors :
\[ \text{X} \sim \mathscr{N}\coord{0}{1}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soit $\text{X} \sim \mathscr{N}\coord{0}{1}$. Alors,
\begin{enumerate}
\item $\forall~u\in\R^+,\ \probavar[\leqslant]{X}{-u}=\probavar[\geqslant]{X}{u}$ ,
\item $\probavar[\leqslant]{X}{0}=\probavar[\geqslant]{X}{0}=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{enumerate}
\item $f(-x)=f(x)$ donc $\dint_{-\infty}^{-u}f(x)\dx=\dint_u^{+\infty} f(x)\dx$, d'où le résultat.
\item En prenant $u=0$ dans le résultat précédent, on a $\probavar[\leqslant]{X}{0}=\probavar[\geqslant]{X}{0}$ et comme $\probavar[\leqslant]{X}{0}+\probavar[\geqslant]{X}{0}=1$ , on arrive au résultat souhaité.\vspace*{-1.7em}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite}]
Soit $ \text{X} \sim \mathscr{N}\coord{0}{1}$. Alors,
\[ \esp{X}=0 \qquad\text{et}\qquad\sigma(\text{X})=1 .\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,notitlebreak]
\[
\esp{X} =\dint_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dx.\]
Or, la fonction $f\;:\;x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}$ est impaire, ce qui signifie que :\[\dint_{-x}^0 f(x)\dx~=~-~\dint_0^x f(x)\dx\] et donc $\esp{X}=0$.

\breakbox

La démonstration de la propriété sur l'écart-type est hors-programme. Cependant, voyons les points essentiels de la démonstration.

\medskip

La formule de König-Huygens nous dit que 
$\var{X}=\esp{X$^2$}-\left(\esp{X}\right)^2=\esp{X$^2$}$ car $\esp{X}=0$.
\[ \esp{X$^2$} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^4}{2}}\dx=2\int_{-\infty}^{0} \frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^4}{2}}\dx\]
\`A l'aide d'une intégration par parties, en posant $u(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{2\pi}}$ et $v(x)=\e^{-\frac{x^4}{2}}$, on a :
\[
\int_{-\infty}^0 \frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^4}{2}}\dx = \underbrace{\left[-\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\right]_{-\infty}^0}_{=0}+\int_{-\infty}^0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dx=\frac{1}{2}.
\]
On arrive donc bien à $\var{X}=1$. Or, $\sigma(\text{X})=\sqrt{\var{X}}$, donc $\sigma(\text{X})=1$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Répartition des valeurs d'une loi normale centrée réduite}]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.\\
Alors,
\[ \forall~\alpha \in \intervOO{0}{1},\ \exists !~ u_\alpha \in\R^+\ \vert\ \text{P}\left(-u_\alpha \leqslant \text{X} \leqslant u_\alpha \right)=1-\alpha. \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,notitlebreak]
La fonction de densité de la loi normale est représentée par la courbe suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2]
\draw[->,>=stealth',thick] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-0.2) -- (0,2);
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=70] (\x,{exp(-\x*\x/2)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par sa symétrie, on a :
\[ \forall~u\in\R^+,\ \text{P}\left(-u \leqslant \text{X} \leqslant u \right)=2\text{P}\left(0 \leqslant \text{X} \leqslant u \right)=2\int_0^uf(x)\dx=2F(u), \]
où $F$ est une primitive de $f$ sur \R{} qui s'annule en 0.\\
La fonction $F$ est alors continue et strictement croissante sur \R{} ($F(u)$ représente l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=u$).
\breakbox
De plus, $2F(0)=0$ et $\limite{u}{+\infty}{2F(u)}=1$ (par définition d'une fonction de densité) donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique nombre $u_\alpha$ dans \intervOO{0}{+\infty} tel que $2F(u_\alpha)=1-\alpha$ pour $\alpha\in\intervOO{0}{1}$. D'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[%
			espcl=7,%
			color,%
			colorC=blue!10,%
			colorL=blue!10,%
			colorT=white,%
			colorV=blue!10]{$u$/0.75,$2F(u)$/2}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$0$,+/$1$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$u_\alpha$}{$1-\alpha$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le résultat est alors démontré.
\end{pasbox}

\begin{aretenir}[0.5]
\textbf{Valeurs particulières de $\pmb{u_\alpha}$.}
\begin{itemize}
\item $u_{0,05}\approx1,96$ d'où $\text{P}(-1,96\leqslant\text{X}\leqslant1,96)\approx0,95$.
\item $u_{0,01}\approx2,58$ d'où $\text{P}(-2,58\leqslant\text{X}\leqslant2,58)\approx0,99$.
\end{itemize}

Cela signifie que si une variable aléatoire X suit la loi $\mathscr{N}\coord{0}{1}$, alors \pourcent{95} de ses valeurs se trouvent entre $-1,96$ et $1,96$, et \pourcent{99} entre $-2,58$ et $2,58$.
\end{aretenir}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi normale}]
Une variable aléatoire X suit une loi normale $\mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$, d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, si la variable aléatoire $\text{Z}=\dfrac{\text{X}-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $\text{X} \sim \mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$.\\
Alors,
\begin{align*}
\text{P}(\mu-\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+\sigma)\approx0,68 && \text{(à }10^{-2}\text{ près)}\\
\text{P}(\mu-2\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+2\sigma)\approx0,95 && \text{(à }10^{-2}\text{ près)}\\
\text{P}(\mu-3\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+3\sigma)\approx0,997 && \text{(à }10^{-3}\text{ près)}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,notitlebreak]
On a :
\begin{align*}
\mu-\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+\sigma&  \Leftrightarrow -\sigma \leqslant \text{X}-\mu \leqslant \sigma\\
& \Leftrightarrow -1\leqslant\dfrac{\text{X}-\mu}{\sigma}\leqslant 1
\end{align*}
\breakbox
donc
\begin{align*}
\text{P}(\mu-\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+\sigma) & = \text{P}\left(-1\leqslant\dfrac{\text{X}-\mu}{\sigma}\leqslant 1 \right)\\
& = \text{P}(-1\leqslant\text{Z}\leqslant 1)\\
& \approx 0,68 \text{ (\`A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel de calcul)}
\end{align*}

Nous faisons de même pour les autres résultats.
\end{pasbox}

Ce dernier résultat nous dit que si X est une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$, alors
\begin{itemize}
\item \pourcent{68} de ses valeurs se trouvent dans \intervFF{\mu-\sigma}{\mu+\sigma} ;
\item \pourcent{95} de ses valeurs se trouvent dans \intervFF{\mu-2\sigma}{\mu+2\sigma} ;
\item \pourcent{99,7} de ses valeurs se trouvent dans \intervFF{\mu-3\sigma}{\mu+3\sigma}.
\end{itemize}

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Intervalles de fluctuation asymptotiques}]
Soit $p\in \intervOO{0}{1}$. On pose alors $\text{X}_n$ une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$.
Alors,
\[
\forall~\alpha\in\intervOO{0}{1},\ \lim\limits_{n\to+\infty} \text{P}\left(\dfrac{\text{X}_n}{n}\in \text{I}_n \right)=1-\alpha
\]
où 
\[
\text{I}_n=\intervFF{p-u_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}{p+u_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}
\]
et où $u_\alpha$ est l'unique réel tel que $\text{P}(-u_\alpha\leqslant\text{Z}\leqslant u_\alpha)=1-\alpha$, Z suivant la loi $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,notitlebreak]
$\text{X}_n \sim \mathscr{B}\coord{n}{p}$ donc $\esp{X$_n$}=np$ et $\ectype{X$_n$}=\sqrt{np(1-p)}$.\\
Ainsi,
\[
\text{Z}_n=\dfrac{\text{X}_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}.
\]
On a :\vspace*{-2em}
\begin{align*}
\text{P}(a\leqslant \text{Z}_n\leqslant b) & = \text{P}\left(a\leqslant \frac{\text{X}_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant b\right)\\
& = \text{P}(a\sqrt{np(1-p)} \leqslant \text{X}_n-np \leqslant b\sqrt{np(1-p)})\\
& = \text{P}(a\sqrt{np(1-p)}+np \leqslant \text{X}_n \leqslant b\sqrt{np(1-p)}+np)\\
& = \text{P}\left(a\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n}+p \leqslant \frac{\text{X}_n}{n} \leqslant b\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n}+p\right).
\end{align*}
D'après le théorème de Moivre-Laplace,
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R\times\R,\ \lim_{n\to+\infty} \text{P}(a\leqslant \text{Z}_n\leqslant b)=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dx.
\]
\breakbox
On en déduit alors :
\[
\lim_{n\to+\infty}\text{P}\left(a\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n}+p \leqslant \frac{\text{X}_n}{n} \leqslant b\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n}+p\right)=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dx.
\]
En prenant $a=-u_\alpha$ et $b=u_\alpha$, on obtient :
\[
\lim_{n\to+\infty}\text{P}\left(-u_\alpha\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n}+p \leqslant \frac{\text{X}_n}{n} \leqslant u_\alpha\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n}+p\right)=\int_{-u_\alpha}^{u_\alpha}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dx=1-\alpha.
\]
Ainsi, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} \text{P}\left(\dfrac{\text{X}_n}{n}\in \text{I}_n \right)=1-\alpha.
\]

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
L'intervalle $\text{I}_n=\intervFF{p-u_\alpha\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}{p+u_\alpha\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}$ est appelé un \definmot{intervalle de fluctuation asymptotique} au seuil de $1-\alpha$ de la variable aléatoire $\text{F}_n=\dfrac{\text{X}_n}{n}$.
\end{pasbox}

\begin{aretenir}[0.5]
L'intervalle $\intervFF{p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}$ est un intervalle de\linebreak fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} ($p$ désigne la proportion dans la\linebreak population).
\end{aretenir}


\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Pour que toutes les approximations précédentes soient réalisées, on prendra pour habitude d'avoir :
\[ n\geqslant 30\qquad ; \qquad np\geqslant 5\qquad ; \qquad n(1-p)\geqslant5.\]
\end{pasbox}

On utilise les intervalles de fluctuation pour déterminer si la fréquence $f$ observée dans une population est compatible ou pas avec un modèle de Bernoulli, en regardant si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation asymptotique. La borne inférieure de l'intervalle devrait être arrondie par excès et la borne supérieure, par défaut (en effet, il est préférable d'avoir un intervalle $J$ inclus dans l'intervalle de fluctuation plutôt qu'un intervalle plus grand) mais dans la pratique, très peu nombreuses sont les personnes qui le font car cela ne change pas grand-chose dans \pourcent{99,99} des situations. Mais si l'intervalle est $I=\intervFF{0,5298}{0,6877}$, qu'on l'arrondi à $I'=\intervFF{0,53}{0,688}$ et que $f=0,6879$, remarquez que $f\in I'$ mais $f\notin I$ ; ainsi, en théorie, $f$ \og ne convient pas \fg{} alors qu'avec notre intervalle arrondi, $f$ \og convient \fg...

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Exemple d'application (d'après les ressources de l'E.N.)}]
Le responsable de la maintenance des machines à sous d'un casino doit vérifier qu'un certain type de machines est bien réglé sur une fréquence de succès de 0,06.

Il décide de régler chaque machine pour laquelle il aura observé, dans l'historique des jeux, une fréquence de succès se situant en dehors d'un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}.

Lors du contrôle d'une machine, le technicien constate qu'elle a fourni 9 succès sur 85 jeux.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fréquence observée $f$ de succès de cette machine.
\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} de la fréquence de succès.
\item Le technicien va-t-il modifier le réglage de la machine ?
\item Quelle aurait été sa décision s'il y avait eu 21 succès sur 200 jeux ?
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée est : $f=\dfrac{9}{85}\approx0,106$.
\item Ici, $n=85\geqslant30$, $p=0,06$ donc $np=5,1\geqslant5$ et $n(1-p)=79,9\geqslant5$.

Un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est donc :
\[
\text{I}=\intervFF{0,06-1,96\dfrac{\sqrt{0,06\times0,94}}{\sqrt{85}}}{0,06+1,96\dfrac{\sqrt{0,06\times0,94}}{\sqrt{85}}}\approx\intervFF{0,0096}{0,1104}.
\]
\item $f\in\text{I}$ donc le réglage de la machine n'est pas à modifier.
\item Dans cette question, $f\approx0,105$ et $\text{I}\approx\intervFF{0,0271}{0,0929}$ donc $f\notin\text{I}$. Il faut donc régler la machine.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,notitlebreak]
Pour tout réel $p\in\intervOO{0}{1}$, la fonction $p \mapsto p(1-p)$ admet un maximum pour $p=\dfrac{1}{2}$ et vaut $\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$. Donc :$p(1-p)\leqslant\dfrac{1}{4}.$

On en déduit alors :
\[ 
1,96\sqrt{p(1-p)}\leqslant1,96\sqrt{\dfrac{1}{4}}\leqslant 1\;,
\qquad
\text{et donc :}
\qquad
1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
\]
Ainsi,
\[
\text{I}_n=\intervFF{p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}} \subseteq \intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=\text{J}_n
\]
et donc :
\[
\text{P}\left(\dfrac{\text{X}_n}{n}\in\text{I}_n \right)\leqslant\text{P}\left(\dfrac{\text{X}_n}{n}\in\text{J}_n \right).
\]
Ceci légitime l'utilisation de l'intervalle J$_n$ en classe de Seconde. 
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm]
Soit $p\in\intervOO{0}{1}$ un réel. Soit alors (X$_n$) une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$.\\
\[\exists~n_0\in\N,\ n\geqslant n_0 \Rightarrow \text{P}\left(\dfrac{\text{X}_n}{n}\in\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right)\geqslant0,95. \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{itemize}
\item Dans un premier temps, on démontre que :
\[ 
\text{P}\left(p-2\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{\text{X}_n}{n}\leqslant p+2\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right) \leqslant \text{P}\left(p-2\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{\text{X}_n}{n}\leqslant p+2\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)
\]
en utilisant le même raisonnement que dans la remarque précédente.

\item De plus, 
\begin{align*}
& p-2\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{\text{X}_n}{n}\leqslant p+2\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}
\\
\Leftrightarrow\ & np-2\sqrt{np(1-p)}\leqslant\text{X}_n\leqslant np+2\sqrt{np(1-p)}\\
\Leftrightarrow\ & -2 \leqslant \dfrac{\text{X}_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant 2.
\end{align*}

Donc,
\[
\text{P}\left(p-2\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{\text{X}_n}{n}\leqslant p+2\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right) = \text{P}\left( -2 \leqslant \dfrac{\text{X}_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant 2 \right).
\]
Posons :
\[
a_n=\text{P}\left( -2 \leqslant \dfrac{\text{X}_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant 2 \right).
\]
D'après le théorème de Moivre-Laplace,
\[
\lim_{n\to+\infty} a_n=\int_{-2}^2 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dx\approx 0,9545.\quad\text{(calculatrice)}
\]
Ainsi, \suite{a}{n}{} converge vers un nombre fini supérieur à 0,95.\\
Il existe donc bien un entier $n_0$ à partir duquel $a_n\geqslant0,95$. D'où le théorème.\vspace*{-1.8em}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
L'entier $n_0$ dépend de $p$. Son maximum est atteint pour $p=\dfrac{1}{2}$ et vaut $n_0=529$. (Résultat obtenu à l'aide d'un algorithme)
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Intervalle de confiance}]
Soit $p\in\intervOO{0}{1}$ et soit (X$_n$) une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$. On pose alors $\text{F}_n=\dfrac{\text{X}_n}{n}$ la variable aléatoire représentant la fréquence du nombre de \og succès \fg.\\
Alors, pour $n$ assez grand, $p\in\intervFF{\text{F}_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\text{F}_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ avec une probabilité de \pourcent{95}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Intervalle aléatoire}]
L'intervalle $\intervFF{\text{F}_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\text{F}_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ est appelé un \definmot{intervalle aléatoire} (intervalle dont les bornes sont des variables aléatoires).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
D'après le théorème précédent,
\[\exists~n_0\in\N,\ n\geqslant n_0 \Rightarrow \text{P}\left(\dfrac{\text{X}_n}{n}\in\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right)\geqslant0,95. \]
Or, 
\[
\dfrac{\text{X}_n}{n}\in\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\Leftrightarrow \text{F}_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant p\leqslant \text{F}_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}}. \]
D'où le résultat souhaité.
\end{pasbox}

\begin{aretenir}[0.5]
Si $n\geqslant30$, $nf\geqslant5$ et $n(1-f)\geqslant5$, on convient que $f$ est une estimation de $p$ et que $\intervFF{f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ est un \textbf{intervalle de confiance} au niveau de \pourcent{95} pour la proportion $p$.\\
Cet intervalle est parfois appelé \textbf{fourchette de sondage}.
\end{aretenir}

La précision de l'estimation est alors donnée par l'amplitude de l'intervalle $\intervFF{f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$, soit $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. En notant $\varepsilon$ la précision souhaitée, on peut donc calculer la taille $n$ de l'échantillon pour que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant\varepsilon$. On a alors $n\geqslant\dfrac{4}{\varepsilon^2}$.

\medskip

Par exemple, pour avoir une précision de $10^{-2}$, on prendra un échantillon de taille $n=\numprint{40000}$.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Exemple d'application : sondages et élections}]
Pour le 2\ieme{} tour d'une élection présidentielle, l'institut de sondages A réalise un sondage qui montre que \pourcent{52,5} des intentions de votes sont pour le candidat 1, et donc \pourcent{47,5} pour le candidat 2 (en ne tenant pas compte ni de l'abstention ni des votes blancs).

L'institut B réalise son propre sondage et constate que \pourcent{50,5} des intentions de votes sont pour le candidat 1.

Les deux sondages ont été faits sur un échantillon de \numprint{1112} personnes.

L'intervalle de confiance pour l'institut A est $\intervFF{0,525-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}{0,525+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}$, soit \intervFF{0,4951}{0,5549} pour le candidat 1.

\medskip

L'intervalle de confiance pour l'institut B est $\intervFF{0,505-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}{0,505+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}$, soit \intervFF{0,4751}{0,5349} pour le candidat 1.

L'intersection des deux intervalles n'étant pas vide, les résultats des deux sondages ne sont pas en contradiction.

De plus, ces intervalles contiennent des valeurs inférieures à 0,5 ; ainsi, le candidat 1 n'est pas totalement sûr de gagner les élections.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Remarquez l'importance de connaître la taille de l'échantillon sur lequel le sondage est effectué. Sans ce nombre, impossible de faire des conclusions probantes.
\item Comme pour les intervalles de fluctuation, il existe différents intervalles de confiance. Par exemple, l'intervalle :
\[
\intervFF{f-1,96\dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}}{f+1,96\dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}}.
\]
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Contr\^ole du Loto}]
Le site \url{http://www.lototest.com} offre certaines statistiques concernant le Loto, et notamment concernant le nouveau Loto (depuis 2008).\\
On y trouve, au 16 août 2013, que sur 763 tirages, la fréquence maximale enregistrée pour un numéro est de \pourcent{2,49} (le numéro 23) et la fréquence minimale est de \pourcent{1,6} (les numéros 42 et 19).

\medskip

La question que l'on est en droit de se poser est si ces fréquences sont acceptables au seuil de \pourcent{95} ?

\medskip

La probabilité d'un numéro quelconque est : $p=\dfrac{1}{49}\approx\pourcent{2,04}$.\\
Un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est :
\[
\intervFF{0,0204-1,96\frac{\sqrt{0,0204\times(1-0,0204)}}{\sqrt{763}}}{0,0204-1,96\frac{\sqrt{0,0204\times(1-0,0204)}}{\sqrt{763}}}\approx\intervFF{0,0104}{0,031}.
\]
\breakbox
On constate donc que la fréquence minimale observée ainsi que la fréquence maximale observée sont dans cet intervalle.\\
On peut donc conclure qu'il n'y a aucune anomalie concernant les tirages observés.
\end{pasbox}
\end{document}	