\documentclass[12pt]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Calculs matriciels}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Raisonnement par récurrence
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice}]
Une \definmot{matrice $n\times p$} est un tableau de plusieurs nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes. Elle peut représenter (ou symboliser) plusieurs choses : un \emph{graphe orienté} ou un \emph{système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues} par exemple (nous en verrons plusieurs dans le programme de Spécialité Terminake S).\\
On dit que la matrice est \definmot{carrée d'ordre $n$} si $p=n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
La matrice $A=\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & -2\\3 & 5\end{pmatrix}$ est une matrice de dimensions $3\times2$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota]
On notera $A=\left(a_{ij}\right)$ la matrice :
\[
\begin{array}{c}
\underset{\downarrow}{j\text{\ieme{} colonne}}\\
~~~A= \begin{pmatrix}
 &  & \vdots & \\
\cdots & \cdots & a_{ij} & \cdots\\
 & & \vdots & 
\end{pmatrix} \longleftarrow i\text{\ieme{} ligne}
\end{array}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice identité}]
Soit $A=\left(a_{ij}\right)$ une matrice carrée d'ordre $n\in\N*\setminus\{1\}$.\\
On dit que $A$ est la \definmot{matrice identité} si :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
a_{ii}=1 & ,\ 1\leqslant i \leqslant n\\
a_{ij}=0 & ,\ i\neq j, 1\leqslant i,j\leqslant n
\end{array}
\right.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
La matrice identité d'ordre $n$ est notée $I_n$ et on peut écrire :
\[ I_n = \left(\delta_{ij}\right)\ ,\]
où $\delta_{ij}$ est le \emph{symbole de Kronecker}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Matrice triangulaire, matrice diagonale}]
Soit $A=\left(a_{ij}\right)$ une matrice carrée d'ordre $n\in\N*\setminus\{1\}$.
\begin{itemize}
\item On dit que $A$ est \definmot{diagonale} si :
\[
\forall i\neq j,\ a_{ij}=0,\ 1\leqslant i,j\leqslant n
\]
\item On dit que A est \definmot{triangulaire supérieure} si :
\[
\forall i>j,\ a_{ij}=0,\ 1\leqslant i,j\leqslant n
\]
\item On dit que A est \definmot{triangulaire inférieure} si :
\[
\forall i<j,\ a_{ij}=0,\ 1\leqslant i,j\leqslant n
\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item $A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$ est une matrice diagonale.
\item $B=\begin{pmatrix}5 & -1 & 0\\0 & 6 & -2\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ est une matrice triangulaire supérieure.
\item $C=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\ -2 & -3 & 1\end{pmatrix}$ est une matrice triangulaire inférieure.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice transposée}]
Soit $A=\left(a_{ij}\right)$ une matrice de dimensions $n\times p$.\\
La \definmot{transposée} de $A$ est la matrice, notée $^tA$, telle que : \[ ^t A =\left(a_{ji}\right).\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\2 & 4 & 6\end{pmatrix}$. Alors, $^tA=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\end{pmatrix}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi]
Soient $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ deux matrices de mêmes dimensions.\\
On dit que $A=B$ si $a_{ij}=b_{ij}$ pour tout les entiers $i$ et $j$ possibles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Si $\begin{pmatrix}
x-1 & -2\\
2 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 & -2\\2 & 1\end{pmatrix} $, alors $x-1=3$, soit $x=4$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel,name={Somme et différence de deux matrices}]
Soient $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ deux matrices de mêmes dimensions.\\
Posons $S=A+B=\left(s_{ij}\right)$ et $D=A-B=\left(d_{ij}\right)$. Alors,
\[
s_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \qquad ; \qquad d_{ij}=a_{ij}-b_{ij}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
Soient $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\5 & -3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
-1 & 6 \\ 3 & -2\end{pmatrix}$. Alors,
\[
S=A+B=\begin{pmatrix}1+(-1)&2+6\\5+3&-3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 8\\8 & -5\end{pmatrix}\]
\[D=A-B=\begin{pmatrix}1-(-1)&2-6\\5-3&-3-(-2)\end{pmatrix}  =\begin{pmatrix}2 & -4\\2 & -1\end{pmatrix}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
L'addition de deux matrices est commutative : si $A$ et $B$ sont deux matrices de mêmes dimensions, alors :
\[ A+B=B+A \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi]
Soit $A=\left(a_{ij}\right)$ et soit $\lambda$ un réel.\\
On définit la matrice $\lambda A$ par :
\[ \lambda A=\lambda\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p}\\
\vdots & & \ddots & \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1p}\\
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots &\lambda  a_{2p}\\
\vdots & & \ddots & \\
\lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \cdots & \lambda a_{np}
\end{pmatrix}=\left(\lambda a_{ij}\right) \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Multiplication de deux matrices}]
Soient $A=\left(a_{ij}\right)$, de dimensions $n\times p$, et $B=\left(b_{ij}\right)$, de dimensions $p\times m$, deux matrices.\\
Le produit $C=AB=\left(c_{ij}\right)$ sera une matrice de dimensions $n\times m$ définie par :
\[
c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}
\]
\end{pasbox}

Si on prend le cas simple d'un vecteur ligne multiplié par un vecteur colonne, cela donne :

\[
\begin{tikzpicture}%
\matrix [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] (A)
{
|(a1)| \color{blue}a_1 & |(a2)| \color{red}a_2 & |(a3)| \color{green!50!black}a_3 & |(a4)| \cdots & |(ann)| \color{purple}a_{n-1} & |(an)| \color{orange}a_n\\
};
\matrix [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] (B) at ($(A.east)+(1.5,0)$)
{
|(b1)| \color{blue}b_1 \\ |(b2)| \color{red}b_2 \\ |(b3)| \color{green!50!black}b_3 \\ |(b4)| \cdots \\ |(bnn)| \color{purple}b_{n-1} \\ |(bn)| \color{orange}b_n\\
};
\draw[->,>=stealth',blue] (a1.north) to[bend left=60] (b1.north west);
\draw[->,>=stealth',red] (a2.north) to[bend left=50] (b2.north west);
\draw[->,>=stealth',green!50!black] (a3.north) to[bend left=40] (b3.north west);
\draw[->,>=stealth',purple] (ann.south) to[bend right=40] (bnn.south west);
\draw[->,>=stealth',orange] (an.south) to[bend right=60] (bn.south west);
\node[right] at (B.east) {$\:\: =\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{a_1b_1}+ \textcolor{red}{a_2b_2}+\textcolor{green!50!black}{a_3b_3}+\cdots+ \textcolor{purple}{a_{n-1}b_{n-1}}+\textcolor{orange}{a_nb_n}\end{pmatrix}$};
\end{tikzpicture}
\]

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Soient $A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
2\\3\\-2\end{pmatrix}$. On a :
\[
AB=\begin{pmatrix}1 & -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2\\3\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times2+(-1)\times3+3\times(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 \end{pmatrix}
\]

\item Soient $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ -3 & 0\end{pmatrix}$.\\
On a d'une part :
\begin{align*}
AB & = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ -3 & 0\end{pmatrix}\\
& =\begin{pmatrix}1\times(-1)+2\times(-3) & 1\times(-2)+2\times0\\3\times(-1)+4\times(-3) & 3\times(-2)+4\times0\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}-7 & -2\\-15 & -6\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}
\breakbox
\begin{enumerate}
\item[] Et on a d'autre part :
\begin{align*}
BA & = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ -3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\\
& =\begin{pmatrix}(-1)\times1+(-2)\times3 & 
(-1)\times2+(-2)\times4 \\
(-3)\times1+0\times3 & 
(-3)\times2+0\times4\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}-7 & -10\\-3 & -6\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\vspace*{-0.5em}
\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Attention : le produit de deux matrices n'est en général pas commutatif : $AB \neq BA$. C'est pourquoi on précise toujours que $BA$ est le \textbf{produit à gauche} par $B$ de $A$ et que $AB$ est le \textbf{produit à droite} par $B$ de $A$.
\end{pasbox}

\vspace*{-0.5em}
\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Ecriture matricielle d'un système linéaire}]
On considère le système linéaire :
\[
\systeme{ax+by=c,a'x+b'y=c'}
\]
En posant $A=\begin{pmatrix}a & b\\a' & b'\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}c\\c'\end{pmatrix}$, l'écriture matricielle du système est :
\[ AX=C \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Il suffit d'écrire $AX=C$ et de multiplier le membre de gauche :
\begin{align*}
AX=C & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b\\a' & b'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\c'\end{pmatrix}\\
& \Leftrightarrow \begin{pmatrix}ax+by\\a'x+b'y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\c'\end{pmatrix}\\
& \Leftrightarrow \systeme{ax+by=c,a'x+b'y=c'}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Une telle écriture est possible pour tout système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues. Par exemple,
\[
\systeme{ax+by+cz=d,a'x+b'y+c'z=d',a''x+b''y+c''z=d''} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
a & b & c\\
a' & b' & c'\\
a'' & b'' & c''
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
d\\d'\\d''
\end{pmatrix}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice inverse}]
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. S'il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=I_n$, alors $B$ est appelée la \definmot{matrice inverse} de $A$ et est notée $A^{-1}$ :
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\]
Dans ce cas, on dit que $A$ est \definmot{inversible}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit un système linéaire d'écriture matricielle $AX=B$, où $A$ est une matrice inversible.\\
Alors, $X=A^{-1}B$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Si $AX=B$, alors, en multipliant à gauche par $A^{-1}$, on a : $A^{-1}AX=A^{-1}B$.\\
Or, par définition, $A^{-1}A=I_n$, et $I_nX=X$. Donc, $X=A^{-1}B$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2}]
Soit $A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$.\\
$A$ est inversible si $ad-bc\neq0$. Dans ce cas, son inverse est :
\[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Effectuons le produit :
\begin{align*}
\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\-c & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b\\c & d
\end{pmatrix} & = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
ad-bc & db-bd\\-ac+ac & -bc+ad
\end{pmatrix}\\
& = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\0 & ad-bc
\end{pmatrix}\\
& = \dfrac{1}{ad-bc}\times(ad-bc)\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 1
\end{pmatrix}\\
& = I_2
\end{align*}

Effectuons maintenant le produit :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\times\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\-c & a
\end{pmatrix} & = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
ad-bc & -ba+ba\\
cd-dc & -cb+da
\end{pmatrix}\\
& = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\0 & ad-bc
\end{pmatrix}\\
& = I_2
\end{align*}

Ces calculs prouvent donc que $\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ lorsque $ad-bc\neq0$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Puissance d'une matrice diagonale}]
Soit $D=\begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_{22} & \cdots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_{pp}
\end{pmatrix}$ une matrice diagonale.\\
Alors,
\[ \forall n\in\N,\ D^n=\begin{pmatrix}
d^n_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & d^n_{22} & \cdots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d^n_{pp}
\end{pmatrix}\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On raisonne par récurrence sur $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}\\
Outre le fait que l'égalité soit vraie pour $n=1$, regardons pour $n=2$ :
\begin{align*}
D^2 & = \begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_{22} & \cdots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_{pp}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_{22} & \cdots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_{pp}
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
d^2_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & d^2_{22} & \cdots & 0\\
\vdots &  & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d^2_{pp}
\end{pmatrix}
\end{align*}

\item \textbf{Hérédité.}\\
Supposons que $D^k=\left(q_{ij}\right)$, avec $q_{ii}=d^k_{ii}$ et $q_{ij}=0$ pour $i\neq j$, et notons\linebreak $D^{k+1}=D^kD=\left(c_{ij}\right)$. Alors,
\[ c_{ij}=\sum_{m=1}^pq_{im}d_{mj}\]
Or, $d_{ij}=0$ pour $i\neq j$. Donc :
\begin{align*}
c_{ii} & =q_{i1}d_{1i}+q_{i2}d_{2i}+\cdots+q_{ii}d_{ii}+q_{i(i+1)}d_{(i+1)i}+\cdots +q_{ip}d_{pi}\\
c_{ii} & = 0+0+\cdots+ d^k_{ii}d_{ii}+0+\cdots+0\\
c_{ii} & = d^{k+1}_{ii}
\end{align*}
et
\begin{align*}
c_{ij} & = 0
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée, d'où le résultat de la propriété.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $A$ une matrice telle que :
\[ A=\begin{pmatrix}a & 0\\b & a\end{pmatrix}\quad,\quad \coord{a}{b}\in\R\times\R.\]
En convenant de noter :
\[
A=aI_2+bN\qquad,\qquad N=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}\ ,
\]
pour tout entier naturel $n$,
\[ A^n = a^nI_2+na^{n-1}bN.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo]
Démontrons cela par récurrence sur $n$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}\\
Pour $n=0$, $a^nI_2+na^{n-1}bN=I_2=A^n$. Donc l'initialisation est faite.

\medskip

\item \textbf{Hérédité.}\\
Supposons que l'égalité soit vraie pour un entier naturel $k$.
\begin{align*}
A^{k+1} & =AA^k\\
& = (aI_2+bN)(a^kI_2+ka^{k-1}bN)\\
& = a^{k+1}I_2 + ka^kbN + a^kbN + ka^{k-1}b^2N^2\\
& = a^{k+1}I_2+(k+1)a^kbN \quad (\text{car }N^2=0)
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Puissance d'une matrice carrée}]
Soient $A$ une matrice carrée d'ordre $p$, $P$ une matrice carrée inversible d'ordre $p$ et $D$ une matrice diagonale d'ordre $p$ telle que $A=PDP^{-1}$.\\
Alors, 
\[ \forall n\in\N,\ A^n=PD^nP^{-1}\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
La démonstration s'effectue par récurrence sur $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}
\begin{align*}
A^2 & = PD\underbrace{P^{-1}P}_{=I_p}DP^{-1}\\
& = PDDP^{-1}\\
& = PD^2P^{-1}
\end{align*}

\item \textbf{Hérédité.}\\
Supposons que $A^k=PD^kP^{-1}$. Alors,
\begin{align*}
A^{k+1} & = A^kA\\
& = PD^k\underbrace{P^{-1}P}_{=I_p}DP^{-1}\\
& = PD^kDP^{-1}\\
& = PD^{k+1}P^{-1}
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.\\
La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$.\vspace*{-1.5em}
\end{itemize}
\end{pasbox}
\end{document}	