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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Fiche}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
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% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
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\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
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% Paragraph

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% Itemize

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% enumerate

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% headpage
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\chead{}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Géométrie dans l'espace en \\Terminale S}

\section{Les plans}

\begin{itemize}
\item \textbf{Représentation paramétrique d'un plan.}

Le plan passant par A\coordEsp{x_A}{y_A}{z_A} et porté par les vecteurs $\vv{u}\coordEsp{a}{b}{c}$ et $\vv{v}\coordEsp{a'}{b'}{c'}$ a pour représentation paramétrique :
\[
\begin{cases}
x & = x_A+\lambda a+ \mu a'\\
y & = y_A+\lambda b+ \mu b'\\
z & = z_A+\lambda c+ \mu c'
\end{cases}
\qquad,\qquad \lambda\in\R,\ \mu\in\R.
\]

\item \textbf{\'Equation cartésienne.}

Le plan de vecteur normal $\vv{n}\coordEsp{a}{b}{c}$ a pour équation cartésienne :
\[
ax+by+cz+d=0\qquad,\qquad d\in\R.
\]

\item \textbf{Plans parallèles.}

Deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

\item \textbf{Plans perpendiculaires.} 

Deux pans sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (leur produit scalaire est nul).
\end{itemize}

\section{Les droites}

\begin{itemize}
\item \textbf{Représentation paramétrique d'une droite.}

La droite passant par le point A\coordEsp{x_A}{y_A}{z_A} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{a}{b}{c}$ a pour représentation paramétrique :
\[
\begin{cases}
x & = x_A+at\\
y & = y_A+bt\\
z & = z_A+ct
\end{cases}
\qquad,\qquad t\in\R.
\]

\item \textbf{Droite orthogonale à un plan.}

Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
	\put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-1.5cm},0)
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}

\item \textbf{Droite parallèle à un plan.}

Une droite est parallèle à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan (le produit scalaire des deux vecteurs est nul).

\item \textbf{Droites orthogonales.}

Deux droites sont orthogonales lorsque le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
\end{itemize}

\section{Intersection d'une droite et d'un plan}

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation :
\[ 5x+y-z+3=0\]
et la droite $\mathscr{D}$ passant par A\coordEsp{0}{1}{3} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{1}{0}{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{On vérifie d'abord que $\pmb{\mathscr{P}}$ et $\pmb{\mathscr{D}}$ se coupent en un point.}\\
Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vv{n}\coordEsp{5}{1}{-1}$ ; donc, $\vv{u}\cdot\vv{n}=5\times1+1\times0+(-1)\times3=2\neq0$ donc $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à $\mathscr{P}$ : il y a donc un point unique d'intersection.\\
Appelons-le I.

\medskip

\item \textbf{Déterminons les coordonnées de I.}\\
La représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ est :
\[
\begin{cases}
x&=t\\
y&=1\\
z&=3+3t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]
\'Etant donné que I appartient à $\mathscr{D}$, il existe un réel $k$ tel que I\coordEsp{k}{1}{3k+3}.

\item[] En substituant les valeurs de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $k$ dans l'équation cartésienne de $\mathscr{P}$, on a :
\begin{align*}
& 5k+1-(3+3k)+3=0\\
\Leftrightarrow\ & 2k+1=0\\
\Leftrightarrow\ & k=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
Finalement, on a : I\coordEsp{-\dfrac{1}{2}}{1}{\dfrac{3}{2}}.
\end{enumerate}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\section{Intersection de deux plans}


\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ d'équations respectives :
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}{}:{}2x+3y-z+5=0\\
\mathscr{P}'{}:{}x+y+1=0
\end{array}
\]
Nous souhaitons déterminer une représentation paramétrique de l'intersection de ces deux plans si elle existe.

Pour cela, on \og résout \fg{} le système suivant, en conservant une inconnue et en la considérant comme un paramètre (ici, $z$) :

\begin{align*}
\begin{cases}
2x+3y-z&=-5\qquad(E_1)\\
x+y& =-1\qquad(E_2)~(L_2)
\end{cases} & \Leftrightarrow 
\begin{cases}
2x+3y & =z-5\qquad(E_1)\\
2x+2y & =-2\qquad (E_2)\longleftarrow2(E_2)
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow \begin{cases}y&=z-3\qquad(E_1)-(E_2)\\ x&=-1-(z-3)\qquad(L_2)\end{cases}\\
& \Leftrightarrow \begin{cases}y&=z-3\qquad(L_1)\\ x&=-z+2\qquad(L_2)\end{cases}\\
& \Leftrightarrow \begin{cases}x&=-t+2\\ y&=t-3\\ z&=t\end{cases}\quad,\quad t\in\R
\end{align*}
L'intersection des deux plans existe et est la droite passant par le point A\coordEsp{2}{-3}{0} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{-1}{1}{1}$.
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\section{Longueur d'un segment}

Dans le repère orthonormé \Rijk, soient A\coordEsp{x_\text{A}}{y_\text{A}}{z_\text{A}} et B\coordEsp{x_\text{B}}{y_\text{B}}{z_\text{B}}.

Alors,
\[
\text{AB}=\sqrt{\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2 + \left(y_\text{B}-y_\text{A}\right)^2 + \left(z_\text{B}-z_\text{A}\right)^2}.
\]

\section{Théorème du toit}

Soient $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ contenant respectivement deux droites parallèles $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.

Si les deux plans sont sécants, alors leur intersection est une droite parallèle à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.
\end{document}