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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
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% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Fiche}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
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{1em}
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% Paragraph

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% Itemize

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% enumerate

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% headpage
\lhead{}
\chead{}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Les nombres complexes en \\Terminale S}

\section{Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle}


\arrayrulecolor{violet}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\rowcolor{violet!10}
\bfseries\color{violet} \raisebox{0.5em}{Forme algébrique} &
\bfseries\color{violet} \raisebox{0.5em}{Forme trigonométrique} &
\bfseries\color{violet} \raisebox{0.5em}{Forme exponentielle}\\
\hline
$z=a+\i b$ & $z=r(\cos\theta+\i\sin\theta)$ & $z=r\e^{\i\theta}$\\
\hline
$\begin{cases}
a = r\cos\theta\\
b = r\sin\theta
\end{cases}$
&
\multicolumn{2}{Sc|}{
$\begin{cases}
\cos\theta = \dfrac{a}{r}\\[8pt]
\sin\theta = \dfrac{b}{r}
\end{cases}$ et $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}
\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{itemize}
\item \textbf{Trouver la forme trigonométrique/exponentielle à partir de la forme algébrique.}

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère le nombre complexe $z=2-2\i\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{On calcule d'abord son module.}

$\begin{aligned}[t]
|z| & =\sqrt{a^2+b^2}\\
& = \sqrt{2^2+\left(-2\sqrt{3}\right)^2}\\
& = \sqrt{4+12}\\
& = \sqrt{16}\\
\Aboxed{|z| & = 4}
\end{aligned}$

\item \textbf{On factorise le nombre complexe par son module.}

$z = 4\left(\dfrac{1}{2}-\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

\item \textbf{On trouve un argument.}

Il faut que $\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{1}{2}\\[8pt]\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$ donc $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$.

\item \textbf{On conclut.}

Donc $z=4\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+\i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]=4\e^{-\i\frac{\pi}{3}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
	\put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-1.5cm},0)
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}

\vspace*{1cm}

\item \textbf{Trouver la forme algébrique à partir de la forme exponentielle/trigonométrique.}


\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère le nombre complexe $z=2\e^{\i\frac{\pi}{4}}$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{On écrit la forme trigonométrique.}

$z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$.

\item \textbf{On calcule le sinus et le cosinus de l'angle.}

$z = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

\item \textbf{On développe.}

$z=\sqrt{2}+\i\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\item \textbf{Trouver la forme algébrique d'un quotient de deux nombres complexes.}

Si $z=\dfrac{a+\i b}{a'+\i b'}$, son écriture algébrique se trouve en multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur : $a'-\i b'$.

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère le nombre complexe $z=\dfrac{1-3\i}{2+\i}$.

Alors,

\begin{align*}
z & = \dfrac{(1-3\i)(2-\i)}{(2+\i)(2-\i)}\\
& = \dfrac{2-\i-6\i+3\i^2}{4-\i^2}\\
& = \dfrac{-1-7\i}{5}\qquad\text{car }\i^2=-1\\
\Aboxed{z& = -\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{5}\i}
\end{align*}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}
\end{itemize}

\section*{Propriétés sur les conjugués}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $z=a+\i b$ et $\overline{z}=a-\i b$
\item $\overline{\overline{z}}=z$
\item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\overline{z^n}=\overline{z}^n$
\item $z\overline{z}=|z|^2$
\end{itemize}
\end{minipage}

\section*{Propriétés sur les modules et les arguments}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $|zz'|=|z|\times|z'|$
\item $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z^n|=|z|^n$
\item $|\overline{z}|=|z|$
\item $|z+z'|\leqslant|z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\dfrac{\arg(z)}{\arg(z')}$
\item $\arg\left(z^n\right)=n\arg(z)$
\item $\arg\left(\overline{z}\right)=-\arg(z)$
\end{itemize}
\end{minipage}


\section*{Ensembles de points}

\begin{itemize}
\item \textbf{Relation importante.}

Si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont les affixes des points A, B, C et D, alors :
\[
\arg\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)=\angleor{DC}{BA}.
\]

En particulier,

\begin{itemize}
\item $\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=0\mod 2\pi\Longleftrightarrow\angleor{BM}{AM}=0\mod2\pi\Longleftrightarrow M\in(AB)\setminus]AB]$

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=0\mod\pi\Longleftrightarrow\angleor{BM}{AM}=0\mod\pi\Longleftrightarrow M\in(AB)\setminus\{B\}$

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=\pi\mod\pi\Longleftrightarrow\angleor{BM}{AM}=\pi\mod\pi\Longleftrightarrow M\in[AB[$

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=\dfrac{\pi}{2}\mod2\pi\Leftrightarrow M\in\mathscr{E}$ où $\mathscr{E}$ est l'ensemble en rouge représenté ci-dessous (privé de B) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw[dotted] (0,0) circle (2cm);
\draw (200:2cm) node[below left] {A} -- (20:2cm) node[above right] {B};
\draw[purple,thick] (200:2cm) arc (200:380:2cm);
\node[purple] at (2.5,0) {$\mathscr{E}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=\dfrac{\pi}{2}\mod\pi\Leftrightarrow M\in\mathscr{C}_{[AB]}\setminus\{B\}$ 
\end{itemize}

\item \textbf{Ensemble de points sous condition modulaire.}

Trouver l'ensemble des points M($z$) tels que :
\[ |z-a|=|z-b|\;, \]
où $a$ et $b$ sont les affixes respectives des points A et B, revient à trouver l'ensemble des points M tels que :
\[ \text{AM}=\text{BM}\]
donc l'ensemble est la \emph{médiatrice de [AB]}.

\newpage

\item \textbf{Ensemble de points sous condition sur la partie réelle ou imaginaire.}

Pour trouver l'ensemble des points M($z$) tels que $\text{Re}(f(z))=0$ ou $\text{Im}(f(z))=0$, il faut souvent remplacer $z$ par $x+\i y$ dans $f(z)$.

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère l'application complexe :
\[
\fonction{\C*}{\C}{z}{\frac{1}{\i z}}
\]
Pour trouver l'ensemble des points M($z$) tels que $\text{Re}(f(z))=0$, on pose\linebreak $z=x+\i y$ :
\begin{align*}
f(z) & = \dfrac{1}{\i(x+\i y)}\\
& = \dfrac{1}{-y+\i x}\\
& = \dfrac{-y-\i x}{x^2+y^2}
\end{align*}
Donc,
\begin{align*}
\text{Re}(f(z))=0 & \Leftrightarrow \dfrac{-y}{x^2+y^2}=0\\
& \Leftrightarrow y=0
\end{align*}
L'ensemble des points M est donc la droite d'équation $y=0$ privée du point O (car $z=0$ est exclut).
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}
\end{itemize}

\section*{\'Equation polynomiale de degré 2}

L'équation :
\[ az^2+bz+c=0\qquad,\qquad a\in\R*,\ b\in\R,\ c\in\R\]

admet deux solutions complexes lorsque $\Delta=b^2-4ac<0$ qui sont :
\[
z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{|\Delta|}}{2a}.
\]

\section*{Affixe d'un vecteur}

\begin{itemize}
\item Si A($z_A$) et B($z_B$) sont deux points du plan d'Argand-Cauchy (plan rapporté à un repère orthonormé \Ruv), alors l'affixe du vecteur $\vv{AB}$ est :
\[
z_{\vv{AB}}=z_B-z_A.
\]

\item ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
\[
z_B-z_A=z_C-z_D.
\]
\end{itemize}
\end{document}