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\begin{tikzpicture}
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\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Fiche}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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\begin{center}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Suites et récurrence en \\Terminale S}

\emph{Nous allons ici voir comment rédiger un exercice faisant intervenir le raisonnement par récurrence à travers une étude de suite.}

\section{\'Enoncé}

On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[ u_{n+1}=\sqrt{1+\dfrac{1}{u_n}}.\]
\'Etudier la convergence de cette suite.

\section{Solution}

Posons :
\[ f(x)=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}.\]
On a alors :
\[ u_{n+1}=f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item \textbf{On montre que la suite est bien définie.}\\
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation.}\\
$u_0=2$ donc $1+\dfrac{1}{u_0}>0$, ce qui implique que $\sqrt{1+\dfrac{1}{u_0}}>0$. Donc $u_1$ est bien défini et de plus, $u_1>0$ comme racine carrée.

\item \emph{Hérédité}.\\
On suppose que pour un entier $k$ donné, $u_k>0$.\\
Alors, $1+\dfrac{1}{u_k}>0$, ce qui fait que $\sqrt{1+\dfrac{1}{u_k}}$ est bien défini. Donc $u_{k+1}$ est bien défini.
\end{itemize}

L'hérédité étant vérifiée, $u_n$ existe pour tout entier naturel $n$ et $u_n>0$.

\item \textbf{On étudie la fonction sur \intervOO{0}{+\infty}.}\\
$f$ est de la forme $\sqrt{u}$, donc $f'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$. Nous avons alors :
\[
f'(x)=\dfrac{-\frac{1}{x^2}}{2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=-\dfrac{1}{2x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.
\]
\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
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		\begin{scope}[rotate=90]
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		\end{tikzpicture}
	}
}

Ainsi, $f'(x)<0$ sur \intervOO{0}{+\infty}. On en déduit :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=6]{$x$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,$+\infty$}
\tkzTabVar{D+/$+\infty$,-/1}
\tkzTabVal{1}{2}{0.33}{1}{$\sqrt{2}$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.66}{2}{$\sqrt{\frac{3}{2}}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item \textbf{On démontre par récurrence que $\pmb{u_n\in\intervFF{1}{2}}$.}

\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation.}\\
$u_0=2\in\intervFF{1}{2}$.

\item \emph{Hérédité.}\\
On suppose que pour un entier naturel $k$ donné, $u_k\in\intervFF{1}{2}$.\\
Alors, d'après les variations de la fonction $f$, $1<\sqrt{\dfrac{3}{2}}\leqslant f\left(u_k\right)\leqslant\sqrt{2}<2$.
\end{itemize}

L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n\in\intervFF{1}{2}$.

\item \textbf{On étudie les variations de la suite.}\\
La fonction $f$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, 
\[ f\left(u_n\right)<u_n\]
soit :
\[ u_{n+1}<u_n.\]
La suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} est donc décroissante.

\item \textbf{On conclut sur la convergence de la suite.}\\
La suite est décroissante et bornée. Elle converge donc.

\item \textbf{On détermine la limite de la suite.}\\
Posons $\ell$ la limite de la suite.\\
$f$ étant continue sur \intervOO{0}{+\infty}, 
\begin{align*}
u_{n+1}=f\left(u_n\right) & \Rightarrow\limite{n}{+\infty}{u_{n+1}}=f\left(\limite{n}{+\infty}{u_n} \right)\\
& \Rightarrow \ell = f(\ell)\\
& \Rightarrow \ell = \sqrt{1+\dfrac{1}{\ell}}\\
& \Rightarrow \ell^2 = 1+\dfrac{1}{\ell}\\
& \Rightarrow \ell^3=\ell+1
\end{align*}
Ainsi, $\ell$ est racine du polyn\^ome :
\[ P(x)=x^3-x-1.\]
Une formule (qui n'est pas au programme de terminale mais qui peut \^etre vue) stipule que tout polyn\^ome de la forme $x^3+px+q$ admet une racine égale à :
\[
\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{q^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{q^3}{27}}}\quad,\quad \Delta=4p^3+27q^2\geqslant0.
\]
Ici, $\Delta=23$, ce qui nous donne :
\[\ell = \sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{23}{108}}+\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{23}{108}}\approx\numprint{1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 477}.\]
On en déduit alors :
\[ \boxed{\limite{n}{+\infty}{u_n}=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{23}{108}}+\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{23}{108}}.}\]

\emph{Nota Bene :} sans la formule, on pourrait trouver une valeur approchée de la limite à l'aide d'un tableau de valeurs de $P(x)$, pour $x\in\intervFF{1}{2}$ avec un pas convenablement choisi.
\end{enumerate}
\end{document}