\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{kpfonts}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{cellspace}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetikzlibrary{fadings,calc,decorations.pathmorphing}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{eso-pic}
\usepackage[urlcolor=purple,colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{mathtools}
\definecolor{violet}{cmyk}{0.28,0.89,0,0.28}
\definecolor{vert}{cmyk}{0.17,0,0.17,0.07}
\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Fiche}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
\titleformat{\section}[block]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\fontsize{16}{14}\selectfont\color{violet}}
{\thesection}
{1em}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont}
\setlength{\parindent}{0pt}

% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}


% Itemize

\setlist[itemize,1]{label={\color{purple}\textbullet}}
\setlist[itemize,2]{label={\color{purple}$\star$}}

% enumerate

\setlist[enumerate,1]{label={\color{purple}\arabic*.}}
% footpage

\cfoot{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{white}\fcolorbox{violet}{violet}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

% headpage
\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Les suites en \\Terminale S}

\section{Suites arithmétiques}

\begin{itemize}
\item \textbf{Relation de récurrence :} $u_{n+1}=u_n+r$.
\item \textbf{Relations explicites :} $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_p+(n-p)r$.

\item \textbf{Somme des premiers termes :} $u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)u_0+\dfrac{n(n+1)}{2}r$.

\item $1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{itemize}

\section{Suites géométriques}

\begin{itemize}
\item \textbf{Relation de récurrence :} $u_{n+1}=qu_n$.
\item \textbf{Relations explicites :} $u_n=u_0\times q^n$ et $u_n=u_p\times q^{n-p}$.

\item \textbf{Somme des premiers termes :} $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\item $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\item Si $|q|<1$, alors $\limite{n}{+\infty}{q^n}=0$.

Si $q>1$, alors $\limite{n}{+\infty}{q^n}=+\infty$.
\end{itemize}

\section{Généralités}

\begin{itemize}
\item \textbf{Théorème des gendarmes.} 

Si $v_n\leqslant u_n\leqslant w_n$ et si $\limite{n}{+\infty}{v_n}=\limite{n}{+\infty}{w_n})=\ell$ (valeur finie), alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\ell$.

\item \textbf{Théorème de comparaison.}
\begin{itemize}
\item Si $u_n\geqslant v_n$ et si $\limite{n}{+\infty}{v_n}=+\infty$, alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$.
\item Si $v_n\leqslant u_n$ et si $\limite{n}{+\infty}{v_n}=-\infty$, alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=-\infty$.
\end{itemize}

\item Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

\item \textbf{Inégalité de Bernoulli.}

Pour tout réel positif $x$ et tout entier naturel $n$, $(1-x)^n\geqslant1-nx$.
\end{itemize}

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
	\put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-1.5cm},0)
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}


\section{Raisonnement par récurrence}

\textbf{Principe de récurrence.}

Soit $(P_n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$.

Si $(P_0)$ est vraie et si, quel que soit l'entier naturel $k$, $(P_k)\Rightarrow(P_{k+1})$, alors $(P_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} soit à démontrer la propriété :
\[
(P_n)\qquad:\qquad \forall x\in\R^+,\ \forall n\in\N,\quad (1-x)^n\geqslant 1-nx.
\]

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}\\
$(1-x)^0=1$ et $1+0\times x=1$.\\
La propriété est donc vraie pour $n=0$. L'initialisation est vérifiée.

\medskip

\item \textbf{Hérédité.}\\
Supposons que pour un certain entier $k$, 
\[ (1-x)^k\geqslant1-kx. \qquad \text{(HR)}\]
Alors,
\begin{align*}
(1-x)^{k+1} & =(1-x)^k(1+x)\\
& \geqslant (1-kx)(1-x)\quad\text{(HR)}\\
& \geqslant 1-(k+1)x+x^2\\
& \geqslant1-(k+1)x.
\end{align*}
L'hérédité est alors montrée ; la propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\section{\'Etude d'une suite arithmético-géométrique}

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} soit la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0 & = \numprint{20000}\\
u_{n+1} & = 0,9u_n+\numprint{1000}
\end{cases}
\]
Soit alors la suite \suite{v}{n}{n\geqslant0} définie par :
\begin{equation} v_n=u_n-\numprint{10000}.\label{relunvn} \end{equation}
\begin{enumerate}
\item \textbf{La suite ($\pmb{v_n}$) est géométrique.}

$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}-\numprint{10000}\\
& = 0,9u_n-\numprint{9000}\\
& = 0,9\left(u_n-\numprint{10000}\right)\\
v_{n+1} & = 0,9v_n
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\newpage

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple (suite) :} 
\begin{enumerate}[start=2]
\item \textbf{Expression du terme général $\pmb{u_n}$.}


\suite{v}{n}{} est géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme :
\[ v_0=u_0-\numprint{10000}=\numprint{10000}.\]
Donc,
\[ v_n=v_0\times q^n = \numprint{10000}\times0,9^n\;,\]
et donc , d'après l'équation \ref{relunvn} :
\begin{align*}
 u_n & =v_n+\numprint{10000}\\
u_n  & =\numprint{10000}\times0,9^n+\numprint{10000}.
  \end{align*}
  
  \item \textbf{Limite de la suite ($\pmb{u_n}$).}
  
  On sait que $\limite{n}{+\infty}{v_n}=0$ car \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $0<q<1$.
  
  Donc,
  \begin{align*}
  \limite{n}{+\infty}{u_n} & =\limite{n}{+\infty}{\left(v_n+\numprint{10000}\right)}\\
  & = \limite{n}{+\infty}{v_n}+\numprint{10000}\\
  & = \numprint{10000}.
  \end{align*}
\end{enumerate}
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}
\end{document}