\documentclass[12pt,french]{article}
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\begin{document}
\begin{center}
\bfseries\Large \'Etudier une fonction trigonométrique
\end{center}

On souhaite étudier la fonction $f(x)=3\cos(2x)-2\cos^3(2x)$.

\begin{itemize}
\item \textbf{\'Etape 1 : périodicité.} On se demande s'il existe un réel $T$ tel que\linebreak $f(x+T)=f(x)$. On calcule donc :
\begin{align*}
f(x+T) & = 3\cos\big[2(x+T)\big] - 2\cos^3\big[2(x+T)\big]\\
& = 3\cos(2x+2T)-2\cos^3(2x+2T).
\end{align*}
On sait que la période de la fonction $\cos$ est $2\pi$ donc:
\begin{align*}
f(x+T)=f(x) & \iff 3\cos(2x+2T)-2\cos^3(2x+2T) = 3\cos(2x)-2\cos^3(2x)\\
& \iff 2T = 2\pi\\
& \iff T = \pi.
\end{align*}

\textbf{Résultat 1 :} $f$ est $\pi$-périodique.

\textbf{Conséquence 1 :} on choisit un domaine d'étude d'amplitude égale à $\pi$, centré en 0 (ça servira plus tard) : $\mathcal{D}=\intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$.


\bigskip

\item \textbf{\'Etape 2 : parité.} On se demande si $f$ est paire ou impaire. On calcule donc $f(-x)$.
\begin{align*}
f(-x) & = 3\cos(-2x)-2\cos^3(-2x)\\
& = 3\cos(2x)-2\cos^3(2x)\text{ car }\cos(-x)=\cos(x)\\
& = f(x).
\end{align*}

\textbf{Résultat 2 :} $f$ est paire car $f(-x)=f(x)$.

\medskip

\textit{Remarque : si $f(-x)=-f(x)$ alors $f$ est impaire.}

\bigskip

\textbf{Conséquence 2 :} on peut couper en deux le domaine d'étude car les variations sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. On peut alors prendre $\mathcal{D}=\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$.

\medskip

\textit{Remarque : si $f$ était impaire, la conséquence aurait été la même car les variations auraient été symétriques, mais par rapport à l'origine du repère.}


\bigskip

\item \textbf{\'Etape 3 : dérivation.} On calcule la dérivée de $f$ pour en trouver le signe sur $\cal D$. On utilise le fait que $\big[\cos(ax+b)\big]'=-a\sin(ax+b)$,  et $\big(u^n\big)'=nu'u^{n-1}$.
\begin{align*}
f'(x) & = -6\sin(2x)-2\times3\big[-2\sin(2x)\big]\big[\cos(2x)\big]^2\\
& = -6\sin(2x)+12\sin(2x)\cos^2(2x)\\
& = -6\sin(2x)\big[1-2\cos^2(2x)\big]\\
& = 6\sin(2x)\cos(4x)\text{ car }\cos(2a)=2\cos^2(a)-1.
\end{align*}

\newpage

\item \textbf{\'Etape 4: étude du signe de la dérivée.} N'oublions-pas que nous sommes sur un intervalle restreint : $\mathcal{D}=\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Si $0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$ alors $0 \leqslant 2x \leqslant \pi$ et donc $\sin(2x)\geqslant0$.
\item[(b)] Si $0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$ alors $0 \leqslant 4x \leqslant 2\pi$ et donc $\cos(4x)\geqslant0$ pour $0\leqslant 4x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$ et pour $\dfrac{3\pi}{2}\leqslant 4x \leqslant 2\pi$, donc pour $0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{8}$ et pour $\dfrac{3\pi}{8}\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.8,$\sin(2x)$/0.75,$\cos(4x)$/0.75,$f'(x)$/0.75,$f$/1.5}{$0$,$\frac{\pi}{8}$,$\frac{3\pi}{8}$,$\frac{\pi}{2}$}
\tkzTabLine{z,+,,+,,+,z}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabLine{z,+,z,-,z,+,z}
\tkzTabVar{-/$1$,+/$\sqrt2$,-/$-\sqrt2$,+/$-1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

\bigskip

\item \textbf{\'Etape 5: représentation graphique.} Sur $\cal D$, on a :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=7,yscale=2]
\draw[gray,dashed] (0,-1.5) grid[ystep=0.25,xstep={3.14159/8}] (1.6,1.5);
\draw[->,>=latex] (0,0) -- ({3.14159/2},0);
\draw[->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[thick,red] plot[domain=0:1.570796,samples=100] (\x,{3*cos(2*\x*180/3.14159)-2*(cos(2*\x*180/3.14159))^3});
\node[left] at (0,0) {0};
\foreach \a/\b in {1/16,1/8,3/16,1/4,5/16,3/8,7/16,1/2}
{
\draw ({\a*3.14159/\b},{1/20}) -- ({\a*3.14159/\b},-{1/20}) node[below] {$\frac{\a\pi}{\b}$};
}
\draw[blue,->,>=latex] (0,{3*cos(2*0*180/3.14159)-2*(cos(2*0*180/3.14159))^3}) -- (0.25,{3*cos(2*0*180/3.14159)-2*(cos(2*0*180/3.14159))^3});
\draw[blue,<->,>=latex] ({3.14159/8-0.25},{3*cos(2*180/8)-2*(cos(2*180/8))^3}) -- ({3.14159/8+0.25},{3*cos(2*180/8)-2*(cos(2*180/8))^3});
\draw[blue,<->,>=latex] ({3*3.14159/8-0.25},{3*cos(6*180/8)-2*(cos(6*180/8))^3}) -- ({3*3.14159/8+0.25},{3*cos(6*180/8)-2*(cos(6*180/8))^3});
\node[left] at (0,0.5) {0,5};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, on a alors:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=3.5,yscale=2]
\draw[->,>=latex] ({-3.14159/2},0) -- ({3.14159/2},0);
\draw[->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[thick,red] plot[domain=-1.570796:1.570796,samples=100] (\x,{3*cos(2*\x*180/3.14159)-2*(cos(2*\x*180/3.14159))^3});
\node[left] at (0,0) {0};
\foreach \a/\b in {1/16,1/8,3/16,1/4,5/16,3/8,7/16,1/2}
{
\draw ({\a*3.14159/\b},{1/20}) -- ({\a*3.14159/\b},-{1/20}) node[below] {$\frac{\a\pi}{\b}$};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
En répétant ce motif sur \R, on obtient la courbe complète.
\end{itemize}
\end{document}