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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
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\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large Entraînement}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
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\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont
\color{purple}\Huge #1
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
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\begin{center}
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\end{center}
\end{minipage}
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% Sections
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% Paragraph

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% Subsection

\titleformat{\subsection}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}

% Corrigé

\newcommand{\corrige}{%
\newpage
\begin{center}
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\fontfamily{lmss}
\fontseries{b}
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\selectfont
\color{violet}Corrigé
\end{center}
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% Itemize

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\chead{}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Pour réviser son bac S}

\section*{Analyse}
\begin{enumerate}
\item Trouver la dérivée de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x^2+3)$.

\item Trouver la dérivée de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln x-x$.

\item Trouver la dérivée de la fonction $h$ définie par $h(x)=x\e^{2x-1}$.

\item Résoudre l'équation $\ln(2x+3)+\ln(x)=0$.

\item Résoudre l'inéquation $3\times0,8^n<0,5$.

\item Résoudre l'inéquation $(3x-4)\e^{2x+3}\geqslant0$.

\item Résoudre l'inéquation $(x+2)\ln(x-1)>0$.

\item Que vaut $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\ln x}{x}}$ ?

\item Que vaut $\limite{x}{0}{x\ln x}$ ?

\item Que vaut $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\e^x}{x}}$ ?

\item Que vaut $\limite{x}{0}{\dfrac{\e^x-1}{x}}$ ?

\item Calculer $\dint_0^1 \big(x+\e^x\big)\dx$.

\item Calculer $\dint_0^1 \dfrac{3\e^x}{\e^x+2}\dx$.

\item Montrer que la fonction $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $f(x)=\ln x$.

\item La suite \suite{u}{n}{} est définie par : $u_n=\dint_0^1\dfrac{n}{1+\e^{1-x}}\dx$. 

Montrer que \suite{u}{n}{} est décroissante.

\item La suite \suite{a}{n}{} est définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,5a_n+5$.

On pose $v_n=a_n-10$. Montrer que \suite{v}{n}{} est géométrique et en déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.

Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le premier entier $n$ tel que $a_n>9$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries\arraybackslash}Sll|}
\hline
Variables : & $n$ entier naturel\\
& $a$ réel\\
Initialisation : & $n$ prend la valeur 0\\
& $a$ prend la valeur 1\\
Traitement : & Tant que ... faire\\
& \qquad $a$ prend la valeur ...\\
& \qquad $n$ prend la valeur $n+1$\\
& Fin du Tant que\\
Sortie : & Afficher ...\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $f(x)=\sqrt{2x}$. On suppose que $f$ est croissante sur \intervFO{0}{+\infty}. On pose $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0=1$.

Montrer par récurrence que $\suite{u}{n}{}$ est croissante.
\end{enumerate}

\section*{Nombres complexes}

\begin{enumerate}
\item Mettre le nombre $z=\dfrac{3\sqrt2}{2}+3\i\dfrac{\sqrt6}{2}$ sous la forme exponentielle.

\item Mettre le nombre $z=6\e^{\i\frac{\pi}{6}}$ sous la forme algébrique.

\item Soient A et B d'affixes respectives $z_A=\i$ et $z_B=3$. M est un point d'affixe $z$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points M tels que $\dfrac{z-\i}{z-3}$ soit un imaginaire pur.
\item Déterminer l'ensemble des points M tels que $\dfrac{z-\i}{z-3}$ soit un nombre réel.
\item Déterminer l'ensemble des points M tels que $\left|\dfrac{z-\i}{z-3}\right|=1$.
\end{enumerate}

\item Résoudre dans \C{} l'équation : $2z^2+3z+11=0$.

\item Soient A, B et C d'affixes respectives $a=\sqrt2+\i\sqrt3$, $b=2\sqrt3+3\i\sqrt2$ et $c=9+11\i$.

Les points A, B et C sont-ils alignés ?

\item Si $z=\sqrt2\e^{i\frac{\pi}{5}}$ alors quelle est la forme exponentielle de $z^{10}$ ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item On a l'arbre suivant :\qquad
\begin{tikzpicture}[baseline]
\node (G) at (2,2) {G};
\node (C) at (2,0) {C};
\node (D) at (2,-2) {D};
\node (GT) at (4,2.5) {T};
\node (GTB) at (4,1.5) {\evcont{T}};
%
\node (CT) at (4,.5) {T};
\node (CTB) at (4,-.5) {\evcont{T}};
%
\node (DT) at (4,-1.5) {T};
\node (DTB) at (4,-2.5) {\evcont{T}};
%
\draw (0,0) -- (G.west) node[midway,fill=white] {0,28};
\draw (0,0) -- (C.west) node[midway,fill=white] {0,52};
\draw (0,0) -- (D.west) node[midway,fill=white] {?};
%
\draw (G.east) -- (GT.west) node[midway,fill=white] {0,8};
\draw (G.east) -- (GTB.west) node[midway,fill=white] {?};
%
\draw (C.east) -- (CT.west) node[midway,fill=white] {?};
\draw (C.east) -- (CTB.west) node[midway,fill=white] {0,25};
%
\draw (D.east) -- (DT.west) node[midway,fill=white] {\color{red}?};
\draw (D.east) -- (DTB.west) node[midway,fill=white] {\color{red}?};
\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
\item Que vaut \proba{D} ?
\item Que vaut \probacond{\evcont{T}}{G} et \probacond{T}{C} ?
\item On sait que $\proba{T}=0,674$. Que vaut alors \probacond{T}{D} et \probacond{\evcont{T}}{D} ?
\item Calculer alors \probacond{C}{T}.
\end{enumerate}

\item Un sac contient \numprint{100000} billes; \pourcent{47} sont bleues et les autres sont rouges. On tire au hasard avec remise 40 billes de ce sac. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de billes bleues tirées à l'issue de ce tirage.
\begin{enumerate}
\item Calculer \probavar{X}{20}.
\item Calculer \probavar[\geqslant]{X}{1}.
\item Sur les 40 billes tirées, 17 sont bleues. Peut-on considérer que ce lot est représentatif de ce qu'il y a dans le sac de billes ?
\end{enumerate}

\item Louis-Mokthar attend son ami. Il sait qu'il arrivera au plus tard dans 30 minutes. On appelle X la variable aléatoire représentant sa durée d'attente en minutes.

Quelle est la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes ?

\item Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 

On sait que $\probavar[\geqslant]{X}{8}=0,5$. Calculer $\lambda$.

\item Une variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne $\mu=14$ et d'écart-type $\sigma$ tel que $\proba{20\leqslant X\leqslant 15,6}=0,477$. 

La représentation de sa fonction de densité est la suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=5]
\fill[gray!20] (0,0) plot[domain=0:2,samples=100] (\x,{(1/sqrt(6.283))*exp(-\x*\x/2)}) -- (2,0) -- (0,0);
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{(1/sqrt(6.283))*exp(-\x*\x/2)});
\draw[dashed] (0,0) node[below,scale=0.5] {14} -- (0,{(1/sqrt(6.283))});
\draw (-5,0) -- (5,0);
\draw[dashed] (2,0) node[below,scale=0.5] {15,6} -- (2,{(1/sqrt(6.283))*exp(-2)});
\node[scale=0.75] at (0.7,0.15) {0,477};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $\sigma$.
\item Calculer \probavar[\geqslant]{X}{17}.
\end{enumerate}

\item Une variable aléatoire X suit la loin $\mathscr{N}\coord{\mu}{3^2}$. On sait que $\proba{X \leqslant 16}=0,32$.

Calculer $\mu$.

\item Soit un échantillon de population de taille $n$ sur lequel \pourcent{48} des personnes ont l'intention de voter pour le candidat A. Donner le plus petit entier $n$ tel que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit inférieur ou égale à 0,1.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Géométrie dans l'espace}

Dans cette section, on considère :
\begin{itemize}
\item les points A$(2\;;\;-1\;;\;0)$, B$(-1\;;\;1\;;\;3)$ et C$(1\;;\;-7\;;\;2)$;
\item la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique : 
$\left\{
\begin{array}{l}
x=2+3t\\
y=-1+t\\
z=-2t
\end{array}
\right.$
\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $3x+y-2z+8=0$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Lequel des points A, B ou C appartient à la droite $\mathscr{D}$ ?
\item Donner un vecteur directeur $\vv{u}$ de la droite $\mathscr{D}$.
\item Donner un vecteur normal du plan $\mathscr{P}$.

\item Montrer que $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
\item Trouver les coordonnées du point d'intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$. On le note H.

\item Montrer que B et C sont sur $\mathscr{P}$.

\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HC).

\item H, B et C sont-ils alignés ? 

\item Calculer AH, BH et CH.

\item On rappelle que l'aire d'un triangle ABC est égale à $\dfrac{1}{2}\text{AB}\times\text{AC}\sin \widehat{A}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\prodscal{HB}{HC}$.
\item En déduire $\cos\widehat{\rm H}$, puis l'aire de HBC.

\end{enumerate}

\item Calculer le volume de la pyramide HBCA.
\end{enumerate}

\corrige

\emph{Les corrections sont sommaires car il est plus important de retenir l'idée que la forme.}

\section*{Analyse}

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+3}$.
\item $g'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x$.
\item $h(x)=\e^{2x-1}+x\times2\e^{2x-1}=(1+2x)\e^{2x+1}$.
\item $\ln(2x+3)+\ln x=\ln\big[x(2x+3)\big]=\ln(2x^2+3x)$ donc l'équation est équivalente à :\\ $\ln(2x^2+3x)=\ln1$, soit $2x^2+3x-1=0$. $x=1$ est une solution évidente, d'où $x=-\dfrac{1}{2}$ est l'autre solution.
\item $\begin{aligned}[t]
3\times0,8^n<0,5 
& \Longleftrightarrow 0,8^n<\dfrac{0,5}{3}\\
& \Longleftrightarrow \ln0,8^n<\ln\dfrac{1}{6}\\
& \Longleftrightarrow n\ln0,8<-\ln6\\
& \Longleftrightarrow n>-\dfrac{\ln6}{\ln0,8}\text{ car }\ln0,8<0
\end{aligned}$
\item $3x-4\geqslant0 \Longleftrightarrow x\geqslant\dfrac{4}{3}$ et $\e^{2x+3}>0$ pour tout $x$ donc l'ensemble solution est l'ensemble des $x$ tels que $x\geqslant\dfrac{4}{3}$.
\item $\ln(x-1)$ existe si $x>1$. Dans ce cas, $x+2>0$ et n'influe pas le signe de $(x+2)\ln(x-1)$.

$\ln(x-1)>0 \Longleftrightarrow x-1>1 \Longleftrightarrow \underline{x>2}$.

\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\ln x}{x}}=0$ (cours)
\item $\limite{x}{0}{x\ln x}=0$ (cours)
\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\e^x}{x}}=+\infty$ (cours)
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\e^x-1}{x}}=1$ (cours)
\item $\dint_0^1\big(x+\e^x\big)\dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+\e^x \right]0^1=\dfrac{1}{2}+\e-1=\e-\dfrac{1}{2}$.
\item $\dint_0^1\dfrac{3\e^x}{\e^x+2}\dx=3\dint_0^1\dfrac{u'}{u}\dx=3\big[\ln|\e^x+2|\big]_0^1=3\ln(\e+2)-3\ln3=3\ln\left(\dfrac{\e+2}{3}\right)$ avec\linebreak $u(x)=\e^x+2$.
\item $F'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x$ donc $F$ est une primitive de $\ln x$.
\item $u_{n+1}-u_n=\dint_0^1\left(\dfrac{n+1}{1+\e^{1-x}}-\dfrac{n}{1+\e^{1-x}} \right)\dx=\dint_0^1\dfrac{1}{1+\e^{1-x}}\dx$.

Or, $\e^{1-x}>0$ sur \intervFF{0}{1}, donc $\dfrac{1}{1+\e^{1-x}}>0$ sur \intervFF{0}{1}. 

L'intégrale d'une fonction positive est positive donc $u_{n+1}-u_n>0$ et donc \suite{u}{n}{} est croissante.

\item $v_{n+1}=a_{n+1}-10=0,5a_n+5-10=0,5a_n-5=0,5(a_n-10)=0,5v_n$.

Donc \suite{v}{n}{} est géométrique de raison 0,5 et de premier terme $v_0=u_0-10=1-10=-9$, donc $v_n=v_0\times0,5^n=-9\times0,5^n$.

Alors, comme $v_n=a_n-10$, $a_n=v_n+10=10-9\times0,5^n$.

\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|>{\bfseries\arraybackslash}ll|m{5cm}|}
\hline
Variables : & $n$ entier naturel&\\
& $a$ réel&\\
Initialisation : & $n$ prend la valeur 0&\\
& $a$ prend la valeur 1&\\
Traitement : & Tant que \textcolor{red}{$n\leqslant9$} faire& on met le contraire de la condition que l'on veut\\
& \qquad $a$ prend la valeur \textcolor{red}{$0.5a+5$} & car $a_{n+1}=0,5a_n+5$ \\
& \qquad $n$ prend la valeur $n+1$&\\
& Fin du Tant que&\\
Sortie : & Afficher \textcolor{red}{$n$} & on affiche le premier $n$ qui ne satisfait pas la condition \og $n\leqslant9$ \fg{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On pose ${\cal P}_n$ : $u_{n+1}>u_n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{itemize}
\item Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}$, donc $u_1>u_0$, donc ${\cal P}_0$ est vraie.

\item Hérédité : on suppose que pour un entier $k$ fixé, $u_{k+1}>u_k$.

Alors, $f(u_{k+1})>f(u_k)$ car $f$ est croissante, soit : $u_{k+2}>u_{k+1}$.

Ainsi, ${\cal P}_k \Rightarrow {\cal P}_{k+1}$ donc l'hérédité est vérifiée.

\medskip

La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$ et donc \suite{u}{n}{} est croissante.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\section*{Nombres complexes}

\begin{enumerate}
\item $|z|=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt6}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{36}{2}}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$

$z=3\sqrt2\left(\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=3\sqrt2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$.

\item $z=6\e^{\i\frac{\pi}{6}}=6\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=6\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\i\dfrac{1}{2}\right)=3\sqrt3+3\i$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $Z=\dfrac{z-\i}{z-3}=\dfrac{z-z_A}{z-z_B}$ est un imaginaire pur $\Longleftrightarrow \arg Z=\dfrac{\pi}{2}\mod\pi$.

Or, $\arg Z=\angleor{MB}{MA}$ donc l'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB] privé de B (car $Z$ existe si $z\neq3$).

\item $Z=\dfrac{z-\i}{z-3}=\dfrac{z-z_A}{z-z_B}$ est un réel $\Longleftrightarrow \arg Z=0\mod\pi$.

Or, $\arg Z=\angleor{MB}{MA}$ donc l'ensemble des points M est la droite (AB) privée de B (car $Z$ existe si $z\neq3$).

\item $|Z|=\left|\dfrac{z-\i}{z-3}\right|=\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right|=\dfrac{\rm MA}{\rm MB}=1$ donc M est sur la médiatrice de [AB].
\end{enumerate}

\item $\Delta=9-4\times2\times11=9-88=-79$ donc $z_1=\dfrac{-3+\i\sqrt{79}}{4}$ et $z_2=\dfrac{-3-\i\sqrt{79}}{4}$.

\item $z_{\vv{\text{AB}}}=b-a=2\sqrt3-\sqrt2+\i(3\sqrt2-\sqrt3)$.

$z_{\vv{\text{AC}}}=c-a=9-\sqrt2+\i(11-\sqrt3)$.

$q_1=\dfrac{9-\sqrt2}{2\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{(9-\sqrt2)(2\sqrt3+\sqrt2)}{(2\sqrt3-\sqrt2)(2\sqrt3+\sqrt2)}=\dfrac{18\sqrt3+9\sqrt2-2\sqrt6-2}{14}\approx2,64$

et 

$q_2\dfrac{11-\sqrt3}{3\sqrt2-\sqrt3}=\dfrac{(11-\sqrt3)(3\sqrt2+\sqrt3)}{(3\sqrt2-\sqrt3)(3\sqrt2-\sqrt3)}=\dfrac{33\sqrt2+11\sqrt3-3\sqrt6-3}{15}\approx3,69$

donc $q_1\neq q_2$, ce qui signifie que les vecteurs $\vv{\text{AB}}$ et $\vv{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires, et donc que les points ne sont pas alignés.

\item $z=\sqrt2\e^{\i\frac{\pi}{5}}$ donc $z^{10}=\sqrt2^{10}\e^{\i\frac{\pi}{5}\times10}=2^5\e^{\i\times2\pi}=32$.
\end{enumerate}

\section*{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\proba{D}=1-0,28-0,52=0,2$.
\item $\probacond{\evcont{T}}{G}=1-0,8=0,2$ et $\probacond{T}{C}=1-0,25=0,75$.
\item $0,28\times0,8+0,52\times0,75+0,2\times\probacond{T}{D}=0,674$ (formule des probabilités totales) donc $\probacond{T}{C}=0,3$.
\item $\probacond{C}{T}=\dfrac{\proba{C\cap T}}{\proba{T}}=\dfrac{0,52\times0,75}{0,674}\approx0,579$.
\end{enumerate}

\item X suit la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,47$.
\begin{enumerate}
\item $\probavar{X}{20}\approx0,1166$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{1}=1-\probavar{X}{0}=1-(1-0,47)^{40}\approx0,999999999991$.
\item $f=\dfrac{17}{40}=0,425$ est la fréquence observée des billes bleues. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} de la fréquence de billes bleues est :
\[
I=\intervFF{0,47-1,96\sqrt{\dfrac{0,47\times0,53}{\numprint{100000}}}}{0,47+1,96\sqrt{\dfrac{0,47\times0,53}{\numprint{100000}}}}\approx\intervFF{0,467}{0,473}
\]
$f\notin I$ donc cet échantillon de 40 billes n'est pas représentatif du sac de billes.
\end{enumerate}

\item X suit la loi uniforme sur \intervFF{0}{30}.

$\probavar[\geqslant]{X}{10}=\dfrac{30-10}{30-0}=\dfrac{2}{3}$.

\item $\probavar[\geqslant]{X}{8}=1-\e^{-8\lambda}=0,5$ donc $\e^{-8\lambda}=0,5$, soit $-8\lambda=\ln0,5=-\ln2$, d'où $\lambda=\dfrac{\ln2}{8}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $0,477=\dfrac{0,954}{5}$. Or, $\proba{\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma}=0,954$ donc $2\sigma=15,6-14=1,6$, soit $\sigma=0,8$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{17}\approx9\times10^{-5}$.
\end{enumerate}

\item On pose $\rm Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-\mu}{3}$ qui, d'après le cours, suit la loi $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.
\[
\proba{X \leqslant 16}=0,32 \Longleftrightarrow \proba{Z \leqslant \dfrac{16-\mu}{3}}=0,32
\]
La calculatrice nous donne (avec la fonction invN) : $\dfrac{16-\mu}{3}\approx-0,467698799115$, soit $16-\mu\approx-1,4$ et donc $\mu\approx17,4$.

\item L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ donc on cherche $n$ tel que $\dfrac{2}{\sqrt n}\geqslant0,1$, soit $\dfrac{\sqrt n}{2}\geqslant10$, soit $\sqrt n\geqslant20$ et donc $n>20^2$, soit $n\geqslant400$.
\end{enumerate}

\section*{Géométrie dans l'espace}

\begin{enumerate}
\item $\rm A\in\mathscr{D}$ : pour $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$, on obtient les coordonnées de A. 

\item $\vv{u}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$ (coefficients de $t$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$).

\item $\vv{u}$ est aussi un vecteur normal à $\mathscr{P}$ (coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne).

\item Le coefficient directeur de $\mathscr{D}$ est normal à $\mathscr{P}$ donc $\mathscr{D}$ est orthogonale à $\mathscr{P}$.

\item On remplace $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne :
\[
3(2+3t)+(-1+t)-2(-2t)+8=0 \Leftrightarrow 6+9t-1+t+4t+8=0 \Leftrightarrow 14t=-13 \Leftrightarrow t=-\dfrac{13}{14}.
\]
D'où :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=2-3\times\dfrac{13}{14}=-\dfrac{11}{14}\\[10pt]
y=-1-\dfrac{13}{14}=-\dfrac{27}{14}\\[10pt]
z=2\times\dfrac{13}{14}=\dfrac{13}{7}
\end{array}
\right.\qquad\text{donc}\qquad \text{H}\left(-\dfrac{11}{14}\;;\;-\dfrac{27}{14}\;;\;\dfrac{13}{7}\right)
\]

\item $3x_B+y_B-2z_B+8=-3+1-6+8=0$ donc B est sur $\mathscr{P}$. Idem pour C.

\item\label{esp-q7} $\vv{\text{HC}}\begin{pmatrix}
1+\frac{11}{14}\\[6pt]
-7+\frac{27}{14}\\[6pt]
2-\frac{13}{7}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{25}{14}\\[6pt]
-\frac{71}{14}\\[6pt]
\frac{1}{7}
\end{pmatrix}$ donc :
\[
\text{(HC)}~:~\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\frac{25}{14}t\\[6pt]
y=-7-\frac{71}{14}t\\[6pt]
z=2+\frac{1}{7}t
\end{array}
\right.
\]

\item $\vv{\text{BC}}\begin{pmatrix}
1-(-1)\\
-7-1\\
2-3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\-8\\-1
\end{pmatrix}$ et $\vv{\text{HC}}\begin{pmatrix}
\frac{25}{14}\\[6pt]
-\frac{71}{14}\\[6pt]
\frac{1}{7}
\end{pmatrix}$.

$\dfrac{\frac{25}{14}}{2}=\dfrac{25}{28}$ et $\dfrac{-\frac{71}{14}}{-8}=\dfrac{71}{102}\neq\dfrac{25}{28}$ donc les vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc H, B et C ne sont pas alignés.

\item $\vv{\text{HA}}\begin{pmatrix}
2+\frac{11}{14}\\[6pt]
-1+\frac{27}{14}\\[6pt]
0-\frac{13}{7}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{39}{14}\\[6pt]
\frac{13}{14}\\[6pt]
-\frac{13}{7}
\end{pmatrix}$ donc $\rm AH=\sqrt{\left(\dfrac{39}{14}\right)^2+\left(\dfrac{13}{14}\right)^2+\left(\dfrac{13}{7}\right)^2}=\dfrac{13\sqrt{14}}{14}$.

$\vv{\text{HB}}\begin{pmatrix}
-1+\frac{11}{14}\\[6pt]
1+\frac{27}{14}\\[6pt]
3-\frac{13}{7}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{3}{14}\\[6pt]
\frac{41}{14}\\[6pt]
\frac{8}{7}
\end{pmatrix}$ donc $\rm BH=\dfrac{\sqrt{\numprint{1946}}}{14}$.

D'après la question \ref{esp-q7}, $\rm HC=\dfrac{9\sqrt{70}}{14}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $\prodscal{HB}{HC}=\begin{pmatrix}
-\frac{3}{14}\\[6pt]
\frac{41}{14}\\[6pt]
\frac{8}{7}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\frac{25}{14}\\[6pt]
-\frac{71}{14}\\[6pt]
\frac{1}{7}
\end{pmatrix}=-\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{14}+\dfrac{41}{14}\times\left(-\dfrac{71}{14}\right)+\dfrac{8}{7}\times\dfrac{1}{7}=-\dfrac{211}{14}$.

\item $\prodscal{HB}{HC}=\rm HB \times HC \times \cos\angleor{HB}{HC}$ donc $\cos\angleor{HB}{HC}=\dfrac{-\frac{211}{14}}{\frac{\sqrt{\numprint{1946}}}{14}\times\frac{9\sqrt{70}}{14}}\approx-0,889298$.

Or, pour tout $x$, $\cos^2x+\sin^2x=1$ donc $\sin^2x=1-\cos^2x$.

Ainsi, $\sin^2\angleor{HB}{HC}\approx1-(-0,889298)^2\approx0,209$, soit $\sin\widehat{\rm H}\approx0,457$.

L'aire du triangle HBC est donc égale à $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{\numprint{1946}}}{14}\times\dfrac{9\sqrt{70}}{14}\times0,457\approx3,87$.
\end{enumerate}

\item La hauteur de cette pyramide est [AH] donc le volume est :
\[
{\cal V}\approx\dfrac{1}{3}\times3,87\times\dfrac{13\sqrt{14}}{14}\approx4,48.
\]
\end{enumerate}
\end{document}