\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{kpfonts}
\usepackage{pas-math,pas-algo,tabularx,cancel,numprint}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{cellspace}
\author{Stéphane PASQUET}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\begin{document}
\section*{Exercice 1}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie A
\end{center}

On considère la fonction $g$ définie sur \R*{} par :
\[ g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\e^{-\frac{1}{x}}+2.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{-\infty}{g(x)} et \limite{x}{+\infty}{g(x)}.
\item Calculer \limite[x<0]{x}{0}{g(x)} puis \limite[x>0]{x}{0}{g(x)}.\\
La fonction $g$ est-elle continue en 0 ?
\item Montrer que pour tout réel non nul, $g'(x)=\dfrac{1}{x^3}\e^{-\frac{1}{x}}$.
\item En déduire le signe de $g'(x)$ puis les variations de $g$ sur son domaine de définition.
\item Montrer qu'il existe une unique solution sur \intervFO{-1}{0}, notée $\alpha$, à l'équation $g(x)=0$.\\
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie B
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur \R*{} par :
\[
f(x)=x\e^{-\frac{1}{x}}+2x-1.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{-\infty}{f(x)} et \limite{x}{+\infty}{f(x)}.
\item Calculer \limite[x<0]{x}{0}{f(x)} puis \limite[x>0]{x}{0}{f(x)}.\\
La fonction $f$ est-elle continue en 0 ?
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=3x-2$ est une asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.\\
\emph{On pourra poser $X=-\dfrac{1}{x}$ puis se ramener à l'expression $\dfrac{1-\e^X}{X}+1$.}
\item Montrer que $f'(x)=g(x)$.
\item En déduire les variations de $f$ sur \R*.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2}

Une équipe de statisticiens propose les modèles suivants pour comparer l'évolution future de la population française et de la population allemande.\\
On note $u_n$ la population de l'Allemagne estimée en millions d'habitants au 1\ier{} janvier de l'année $2010+n$. On a alors $u_0=81,2$ et $u_{n+1}=0,998u_n+0,2$.\\
On note $v_n$ la population de la France estimée en millions d'habitants au 1\ier{} janvier de l'année $2010+n$. On a alors $v_0=63,2$ et $v_{n+1}=1,002v_n+0,1$.

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{algo}
\begin{algoentries}
u et v : nombres réels\\
n : nombre entier
\end{algoentries}
\begin{algobody}
Affecter à u la valeur 81,2\\
Affecter à v la valeur 63,2\\
Affecter à n la valeur 0
\begin{algowhile}{$\vert$u-v$\vert\geqslant$15}
Affecter à u la valeur 0.998u+0.2\\
Affecter à v la valeur 1.002v+0.1\\
Affecter à n la valeur n+1
\end{algowhile}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher n
\end{algoend}
\end{algo}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à $10^{-3}$) :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}p{2cm}|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$u_n$ & 81,2 & & &\\
\hline
$v_n$ & 63,2 & & & \\
\hline
$\vert u_n-v_n \vert$ &  &  & & \\
\hline
\end{tabularx}

\item Un élève de Terminale programme cet algorithme sur sa calculatrice. Son programme affiche \og 16 \fg.\\
Son programme retourne-t-il le bon résultat ? \`A quoi ce dernier correspond-il ?
\end{enumerate}

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=-18,8\times0,998^n+100$.\\
On admettra que $v_n=113,2\times1,002^n-50$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite \suite{u}{n}{} converge et donner sa limite.
\item Montrer que la suite \suite{v}{n}{} diverge.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie A
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[ f(x)=x^2\ln x + 3x-1.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{0}{f(x)} puis \limite{x}{+\infty}{f(x)}.
\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervOF{0}{1}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie B
\end{center}

On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=\dfrac{1}{3}\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(1-u_n^2\ln(u_n)\right)
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (On donnera les valeurs approchées à $10^{-3}$ près).
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{3}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{2}$.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est croissante.\\
En déduire que \suite{u}{n}{} est convergente.
\item Montrer alors que $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\alpha$.\\
En déduire, à l'aide de votre calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-7}$ près.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}

Dans le plan complexe, on considère le point $\Omega$ d'affixe $\omega=1+\i$.\\
Pour tout entier naturel $n$ tel que $0\leqslant n\leqslant 2$, on considère les points A$_n$ d'affixes respectives $z_n=\omega+\e^{\frac{2n\i\pi}{3}}$.\\

\begin{enumerate}
\item Calculer $\arg\left(\dfrac{z_1-\omega}{z_0-\omega}\right)$.\\
Comment peut-on interpréter ce résultat géométriquement ?
\item Calculer $\arg\left(\dfrac{z_2-\omega}{z_1-\omega}\right)$.
\item Quelle est la nature du triangle A$_0$A$_1$A$_2$ ? Justifier.
\item Donner une méthode pour construire un triangle équilatéral à l'aide des nombres complexes.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5}

Le plan est rapporté à un repère \Ruv.\\
On considère l'application $f$ définie de \C*{} sur \C*{} par :
\[
f\;:\;z\mapsto\dfrac{1}{\overline{z}}.
\]

\begin{enumerate}
\item Trouver tous les points fixes de $f$, c'est-à-dire tous les points d'affixe $z$ tels que \linebreak$f(z)=z$. Quel ensemble cela représente-t-il ?
\item Quel est l'ensemble image d'un cercle de centre O et de rayon $r>0$ ?
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $z=r\e^{\i\theta}$ est l'affixe d'un point M appartenant à la droite d'équation $x=1$, alors $f(z)=\cos\theta\e^{\i\theta}$.
\item \emph{Pour cette question, on pourra utiliser un outil informatique (celui qui semble le plus pertinent : tableur, calculatrice, Xcas, GeoGebra, AlgoBox, ...).}\\
Prendre différentes valeurs de $\theta$ sur \intervFF{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, puis construire les points d'affixe $f(z)$.\\ 
Que peut-on conjecturer quant à l'ensemble image de la droite d'équation $x=1$ ?
\end{enumerate}
\item S'inspirer de la question précédente pour trouver l'ensemble image de la droite d'équation $y=1$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 6}

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près lorsque nécessaire.}

\medskip

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item La machine A assure \pourcent{40} de la production et la machine B en assure \pourcent{60}.
 
On estime que \pourcent{10} des pièces issues de la machine A ont un défaut et que \pourcent{9} des pièces issues de la machine B ont un défaut.
 
On choisit une pièce au hasard et on considère les événements suivants : 

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og La pièce est produite par la machine A \fg
\item $B$ : \og La pièce est produite par la machine B \fg
\item $D$ : \og La pièce a un défaut \fg.
\item $\overline{D}$,  l'événement contraire de l'événement $D$.
\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation à  l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A. 
		\item Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l'événement $D$ est égale à  $0,094$. 
		\item On constate que la pièce choisie a un défaut.
		 
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
	\end{enumerate} 
\item On examine 10 pièces choisies au hasard dans la production de la machine A. On assimile ces 10 tirages à  des tirages successifs indépendants et avec remise.
 
On note $X$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l'échantillon de 10 pièces.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 
\item Déterminer $\probavar[\geqslant]{X}{5}$ (on donnera la valeur la plus précise possible).
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\Large\bfseries Correction
\end{center}

\section*{Exercice 1}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{-\infty}{\dfrac{1}{x}}=0$ donc :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\limite{x}{-\infty}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=1$
\item[$\bullet$] $\limite{X}{0}{\e^X}=1$ donc $\limite{x}{-\infty}{\e^{-\frac{1}{x}}}=1$
\end{description}
Ainsi, par produit, $\limite{x}{-\infty}{\left[\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\e^{-\frac{1}{x}}\right]}=1$ et donc $\boxed{\limite{x}{-\infty}{g(x)}=3}$.

\medskip

Par un raisonnement analogue, on trouve $\boxed{\limite{x}{+\infty}{g(x)}=3}$\\
En effet, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x}}=\limite{x}{-\infty}{\dfrac{1}{x}}=0$.

\item $\limite[x<0]{x}{0}{\dfrac{1}{x}}=-\infty$ donc :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\limite{x}{0^-}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=-\infty$
\item[$\bullet$] $\limite{X}{+\infty}{\e^X}=+\infty$ donc $\limite{x}{0^-}{\e^{-\frac{1}{x}}}=+\infty$.
\end{description}

Ainsi, par produit, $\limite{x}{0^-}{\left[\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\e^{-\frac{1}{x}}\right]}=-\infty$ et par somme, on a $\boxed{\limite{x}{0^-}{g(x)}=-\infty}$.

\bigskip

$\limite{x}{0^+}{\dfrac{1}{x}}=+\infty$ donc :
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\limite{x}{0^+}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=+\infty$
\item[$\bullet$] $\limite{X}{-\infty}{\e^X}=0$ donc $\limite{x}{0^+}{\e^{-\frac{1}{x}}}=0$.
\end{description}

On a donc une indétermination de la forme \og $\infty\times0$ \fg.\\
Développons $f(x)$ :

\[f(x)=\e^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x}\e^{-\frac{1}{x}}+2.\]

Nous savons que $\limite{x}{0^+}{\e^{-\frac{1}{x}}}=0$ et que le \og 2 \fg{} ne va pas nous déranger dans nos calculs.\\
Posons alors $X=-\dfrac{1}{x}$. Ainsi, $\limite{x}{0^+}{X}=-\infty$ et $\dfrac{1}{x}\e^{-\frac{1}{x}}=-X\e^{X}$.\\
Ainsi, $\limite{x}{0^+}{\left(\dfrac{1}{x}\e^{-\frac{1}{x}}\right)}=\limite{X}{-\infty}{\left(-X\e^X\right)}=0$ (d'après le cours).

\medskip

Par comme, on obtient alors $\boxed{\limite{x}{0^+}{g(x)}=2}$.

\medskip

$\limite{x}{0^-}{g(x)}\neq\limite{x}{0^+}{g(x)}$ ; par conséquent, \underline{$g$ n'est pas continue en 0}.

\newpage

\item $g$ est de la forme $uv+2$ où :

\begin{description}
\item[$\bullet$] $u(x)=1+\dfrac{1}{x}$ donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
\item[$\bullet$] $v(x)=\e^{-\frac{1}{x}}$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}$
\end{description}

Ainsi, 

\medskip

$\begin{aligned}[t]
g'(x) & = (u'v+uv')(x)+0\\
& = -\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}+\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\times\dfrac{1}{x^2}\e^{-\dfrac{1}{x}}\\
& = \cancel{-\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}}+\cancel{\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}}+\dfrac{1}{x^3}\e^{-\frac{1}{x}}\\
\Aboxed{g'(x) & =\dfrac{1}{x^3}\e^{-\frac{1}{x}}}
\end{aligned}$

\item $g'(x)$ est du signe de $\dfrac{1}{x^3}$, donc du signe de $x$, car une exponentielle est toujours strictement positive. D'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,d,+}
\tkzTabVar{+/3,-D-/$-\infty$/2,+/3}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $g$ est continue et strictement décroissante sur \intervFO{-1}{0}.\\
De plus, \og 0 \fg{} est une valeur intermédiaire entre $g(-1)=2>0$ et $\limite{x}{0^-}{g(x)}=-\infty$.\\
Ainsi, d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires (le \og Théorème de la bijection \fg), il existe une unique valeur $\alpha$ sur \intervFO{-1}{0} telle que $g(\alpha)=0$.

\medskip

\`A l'aide de la calculatrice, on trouve $g(-0,69)\approx\numprint{0,086}$ et $g(-0,68)\approx\numprint{-0,0479}$.\\ \underline{Donc $\alpha\approx-0,68$}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\limite{x}{-\infty}{\left(-\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc $\limite{x}{-\infty}{\e^{-\frac{1}{x}}}=\limite{X}{0}{\e^X}=1$.\\
Ainsi, par produit, $\limite{x}{-\infty}{x\e^{-\frac{1}{x}}}=-\infty$.\\
De plus, $\limite{x}{-\infty}{(2x-1)}=-\infty$ donc, par somme, $\boxed{\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty}$.

\item[$\bullet$] $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x}}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\e^{-\frac{1}{x}}}=1$. Ainsi, par produit, $\limite{x}{+\infty}{\left(x\e^{-\frac{1}{x}}\right)}=+\infty$.\\
De plus, $\limite{x}{+\infty}{(2x-1)}=+\infty$ donc, par somme, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\limite{x}{0^-}{x\e^{-\frac{1}{x}}}= \limite{X}{+\infty}{\left(-\dfrac{1}{X}\e^X\right)}=\limite{X}{+\infty}{\left(-\dfrac{\e^X}{X}\right)}=-\infty$ et $\limite{x}{0^-}{(2x-1)=-1}$ donc, par somme, $\boxed{\limite{x}{0^-}{f(x)}=-\infty}$.

\item[$\bullet$] $\limite{x}{0^+}{x\e^{-\frac{1}{x}}}=\limite{X}{-\infty}{\left(-\dfrac{1}{X}\e^X\right)}=0$ et $\limite{x}{0^+}{(2x-1)}=-1$ donc, par somme, $\boxed{\limite{x}{0^+}{f(x)}=-1}$.
\end{itemize}

$\limite{x}{0^-}{f(x)}\neq\limite{x}{0^+}{f(x)}$ donc \underline{$f$ n'est pas continue en 0}.

\item Posons $h(x)=f(x)-(3x-2)=x\e^{-\frac{1}{x}}-x+1$.\\
Posons $X=-\dfrac{1}{x}$; alors, $h(X)=-\dfrac{1}{X}\e^X+\dfrac{1}{X}+1=\dfrac{1-\e^X}{X}+1$.\\
Or, $\limite{X}{0}{\dfrac{\e^X-1}{X}}=1$ (d'après le cours) donc $\limite{X}{0}{\dfrac{1-\e^X}{x}}=-1$ et donc $\limite{X}{0}{\left(\dfrac{1-\e^X}{X}+1\right)}~=~0$.\\
Or, $\limite{x}{+\infty}{X}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{h(x)}=\limite{X}{0}{h(X)}~=~0$.\\
Ainsi, la différence $f(x)-(3x-2)$ tend vers 0 à l'infini ; cela signifie que la courbe représentative de $f$ admet en $+\infty$ une asymptote oblique d'équation $y=3x-2$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \e^{-\frac{1}{x}}+x\times\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}+2\\
& = \left(1+\dfrac{1}{x}\right)\e^{-\frac{1}{x}}+2\\
\Aboxed{f'(x) & = g(x)}
\end{aligned}$

\item Le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$\alpha$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$f(\alpha)$,-D-/$-\infty$/$-1$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}S{p{2cm}}|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$u_n$ & 81,2 & 81,238 &81,275 & 81,313\\
\hline
$v_n$ & 63,2 & 63,426 &63,653 &63,881 \\
\hline
$u_n-v_n$ & 18&	17,811 &	17,622 &	17,432 \\
\hline
\end{tabularx}

\item Pour $n=15$, $u_n-v_n\approx15,112$ et pour $n=16$, $u_n-v_n\approx14,718$.\\
Ainsi, $n=16$ est bien la première valeur de $n$ pour laquelle $u_n-v_n<15$.\\
Cela signifie qu'en $2010+16$, soit en 2026, la différence entre les deux populations sera inférieure à 15 millions d'habitants.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(\mathcal{P}_n\right)$ la propriété : \og $u_n=-18,8\times0,998^n+100$ \fg.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Initialisation.}\\
$\left(\mathcal{P}_0\right)$ : $u_0=-18,8\times0,998^0+100=-18,8+100=81,2$.\\
Ainsi, $\left(\mathcal{P}_0\right)$ est vraie.

\item[$\bullet$] \textbf{Hérédité.}\\
Supposons que pour un certain entier $n$ donnée, $\left(\mathcal{P}_n\right)$ soit vraie (hypothèse de récurrence : HR). Alors,
\begin{align*}
u_{n+1} & = 0,998u_n+0,2 & \text{(par définition)}\\
& = 0,998(-18,8\times0,998^n+100)+0,2 & \text{(par HR)}\\
& = -18,8\times0,998^n\times0,998+100\times0,998+0,2 & \\
& = -18,8\times0,998^{n+1}+99,8+0,2 & \\
& = -18,8\times0,998^{n+1}+100
\end{align*}

$\left(\mathcal{P}_{n+1}\right)$ est donc vraie. L'hérédité est alors vérifiée.\\
\underline{Ainsi, $\left(\mathcal{P}_n\right)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.}
\end{itemize}

\item
\begin{enumerate}
\item On sait que pour $0<q<1$, $\limite{n}{+\infty}{q^n}=0$.\\
Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{0,998^n}=0$, ce qui implique que $\limite{n}{+\infty}{u_n}=100$.\\
\underline{Par conséquent, \suite{u}{n}{} converge et sa limite vaut 100.}
\item On sait que pour $q>1$, $\limite{n}{+\infty}{q^n}=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}{v_n}=+\infty$. \underline{Donc \suite{v}{n}{} diverge.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] On sait que $\limite{x}{0}{\left(x^2\ln x\right)}=0$ (d'après le cours). De plus, $\limite{x}{0}{(3x-1)}=-1$.\\
Ainsi, par somme, $\boxed{\limite{x}{0}{f(x)}=-1}$.

\item[$\bullet$] $\limite{x}{+\infty}{\left(x^2\ln x\right)}=+\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{(3x-1)}=+\infty$.\\
Ainsi, par somme, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 2x\ln x + x^2\times\dfrac{1}{x}+3\\
& = 2x\ln x+x+3
\end{aligned}$

On ne peut pas déterminer le signe de $f'(x)$ donc on calcule $f''(x)$ :

\medskip

$\begin{aligned}[t]
f''(x) & = 2\ln x + 2x\times\dfrac{1}{x}+1\\
& = 2\ln x + 3
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, 

\begin{align*}
f''(x)>0 & \Leftrightarrow 2\ln x+3>0\\
& \Leftrightarrow \ln x > -\dfrac{3}{2}\\
& \Leftrightarrow x > \e^{-\frac{3}{2}}
\end{align*}

D'où le tableau suivant :

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.7,$f''(x)$/0.6,$f'(x)$/1,$f(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,$\e^{-\frac{3}{2}}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/,+/}
\tkzTabLine{d,+,,+}
\tkzTabVar{D-/$-1$,R/,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\begin{aligned}[t]
f'\left(\e^{-\frac{3}{2}}\right) & =2\e^{-\frac{3}{2}}\times\left(-\frac{3}{2}\right)+\e^{-\frac{3}{2}}+3\\
& = -2\e^{-\frac{3}{2}}+3\\
& \approx 2,55 >0
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{minipage}

\medskip


\underline{La fonction $f$ est donc strictement croissante sur \intervOF{0}{+\infty}.}

\item $f$ est continue et strictement croissante sur \intervOF{0}{1}. De plus, 0 est une valeur intermédiaire entre $\limite{x}{0}{f(x)}=-1$ et $f(1)=2$.\\
Ainsi, d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires (théorème de la bijection), il existe une unique valeur $\alpha$ sur \intervOF{0}{1} telle que $f(\alpha)=0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $u_1=\dfrac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\times\ln\left(\frac{1}{3}\right) \right)=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{\ln 3}{9} \right)\approx0,374$
\item[$\bullet$] $u_2\approx\dfrac{1}{3}\left(1-0,374^2\ln 0,374\right)\approx0,379$
\item[$\bullet$] $u_3\approx\dfrac{1}{3}\left(1-0,379^2\ln 0,379\right)\approx0,380$
\end{itemize}

\item Soit $(\mathcal{P}_n)$ la propriété : \og $\dfrac{1}{3}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{2}$ \fg.

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Initialisation.}\\
$(\mathcal{P}_0)$ : $\dfrac{1}{3}\leqslant u_0\leqslant\dfrac{1}{2}$.\\
Or, $u_0=\dfrac{1}{3}$ donc $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

\item[$\bullet$] \textbf{Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier $n$ donné, $(\mathcal{P}_n)$ soit vraie.\\
Ainsi, \[ \ln\dfrac{1}{3}\leqslant\ln\left(u_n\right)\leqslant\ln\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad0\leqslant u_n^2\leqslant\dfrac{1}{4}.\]
On en déduit alors :
\begin{align*}
&\frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}\leqslant u_n^2\ln\left(u_n\right)\leqslant0\\
\Rightarrow\ & 0\leqslant-u_n^2\ln\left(u_n\right)\leqslant-\frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}\\
\Rightarrow\ & 1\leqslant1-u_n^2\ln\left(u_n\right)\leqslant1-\frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}\\
\Rightarrow\ & \frac{1}{3}\leqslant\frac{1}{3}\left(1+u_n^2\ln\left(u_n\right)\right)\leqslant\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}\right)\\
\intertext{Or, $\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}\right)<\dfrac{1}{2}$}\\
\Rightarrow\ & \dfrac{1}{3}\leqslant u_{n+1} < \frac{1}{2}
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.\\
\underline{Ainsi, $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.}
\end{itemize}

\item Posons $g(x)=\dfrac{1}{3}(1-x^2\ln x)$ afin d'avoir $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.\\
$g'(x)=-\dfrac{1}{3}x(2\ln x+1)$ et $2\ln x+1>0 \Leftrightarrow x>\e^{-\frac{1}{2}}\approx0,6$. D'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.6,$g'(x)$/0.5,$g$/1}{$0$,$\e^{-\frac{1}{2}}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{D-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$h$ est donc croissante sur \intervFF{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}, ce qui implique que $h\left(u_n\right)>u_n$, soit $u_{n+1}>u_n$.\\
\underline{\suite{u}{n}{} est donc croissante.}\\
De plus, elle est bornée (d'après la question précédente), donc majorée. Or, toute suite croissante et majorée converge. \underline{Donc \suite{u}{n}{} converge.}

\item Posons $\ell$ la limite de \suite{u}{n}{}; alors puisque $h$ est continue sur \intervFF{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}, $\ell=h(\ell)$. Résolvons donc l'équation $x=h(x)$ :
\begin{align*}
x=h(x) & \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left(1-x^2\ln x\right)\\
& \Leftrightarrow 3x = 1-x^2\ln x\\
& \Leftrightarrow x^2\ln x+3x-1=0\\
& \Leftrightarrow f(x)=0\\
& \Leftrightarrow x = \alpha \quad \text{(d'après la partie A)}
\end{align*}

Il existe donc une seule solution à l'équation $x=h(x)$. \underline{Ainsi, $\ell=\alpha$.}

\`A l'aide de la calculatrice, on trouve : \underline{$\alpha\approx\numprint{0,3798938}$.}
\end{enumerate}

\paragraph*{N.B.} Remarquez la vitesse de convergence de la suite \suite{u}{n}{} : on arrive à une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-9}$ près dès $u_9$.

\section*{Exercice 4}

\begin{enumerate}
\item $\arg\left(\dfrac{z_1-\omega}{z_0-\omega}\right)=\arg\left(\dfrac{\e^{\frac{2\i\pi}{3}}}{\e^{0}}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$.\\
On peut en déduire que $\angleor{$\Omega A_0$}{$\Omega A_1$}=\dfrac{2\pi}{3}$.

\item $\arg\left(\dfrac{z_2-\omega}{z_1-\omega}\right)=\arg\left(\dfrac{\e^{\frac{4\i\pi}{3}}}{\e^{\frac{2\i\pi}{3}}}\right)=\arg\left(\e^{\frac{2\i\pi}{3}}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$.

\item Des questions précédents, on déduit que $\angleor{$\Omega A_0$}{$\Omega A_1$}=\angleor{$\Omega A_1$}{$\Omega A_2$}=\dfrac{2\pi}{3}$, ce qui implique que \underline{A$_0$A$_1$A$_2$ est équilatéral.}

\item Pour construire un triangle équilatéral à l'aide des nombres complexes, il suffira de prendre un point quelconque d'affixe $\omega$, puis de construire 3 autres points d'affixes $z_n$ précédemment définis.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5}

\begin{enumerate}
\item $f(z)=z \Leftrightarrow \dfrac{1}{\overline{z}}=z \Leftrightarrow z\overline{z}=1 \Leftrightarrow |z|=1$.\\
\underline{Ainsi, tous les points fixes de $f$ sont les points qui se trouvent sur le cercle unité.}

\item Posons $z=r\e^{\i\theta}$.\\
Alors, $f(z)=\dfrac{1}{r\e^{-\i\theta}}=\dfrac{1}{r}\e^{\i\theta}$.\\
Ainsi, $f(z)$ est l'affixe d'un point du cercle de centre O et de rayon $\dfrac{1}{r}$.\\
L'image du cercle $\mathscr{C}_{(\text{O},r)}$ sera donc le cercle $\mathscr{C}'_{\left(\text{O},\frac{1}{r}\right)}$.

\newpage

\item 
\begin{enumerate}
\item Faisons un schéma :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,2);
\draw[gray] (1,-2) -- (1,2);
\draw[gray,dashed] (0,0) -- (1,1.5) node[midway,above] {$r$};
\fill (1,1.5) circle (2pt) node[right] {M};
\node[below right] at (1,0) {1};
\draw[->,>=stealth',gray] (0.5,0) arc (0:55:0.5cm);
\node[gray] at (26:0.7) {\small$\theta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On a alors $\cos\theta=\dfrac{1}{r}$.\\
Or, $f(z)=\dfrac{1}{r\e^{-\i\theta}}=\dfrac{1}{r}\e^{\i\theta}$.\\
Donc, \underline{$f(z)=\cos\theta\e^{\i\theta}$.}
\end{minipage}

\item On construit, à l'aide d'un logiciel, tous les points de coordonnées \coord{\cos^2\theta}{\cos\theta\sin\theta} pour $\theta\in\intervFF{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.\\
En effet, $f(x)=\cos\theta\e^{\i\theta}=\cos\theta(\cos\theta+\i\sin\theta)=\cos^2\theta+\i\cos\theta\sin\theta$.\\
Avec le logiciel Xcas, on tapera :

\begin{verbatim}
plotparam(cos(t)*cos(t)+i*cos(t)*sin(t),t)
\end{verbatim}

et on obtiendra la figure suivante :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{exo5.eps}
\end{center}

On peut donc conjecturer que l'image de la droite d'équation $x=1$ est le cercle de centre A\coord{\frac{1}{2}}{0} et de rayon $\frac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\item Soit un point M$\left(r\e^{\i\theta}\right)$ sur la droite d'équation $y=1$. Alors, $\sin\theta=\dfrac{1}{r}$ et donc \linebreak$f(z)=\sin\theta\e^{-\i\theta}$.\\
En tapant sous Xcas :

\begin{verbatim}
plotparam(sin(t)*cos(t)+i*sin(t)*sin(t),t)
\end{verbatim}

on obtient :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{exo5B.eps}
\end{center}

On peut donc conjecturer que l'image de la droite d'équation $y=1$ est le cercle de centre B\coord{0}{\frac{1}{2}} et de rayon $\frac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 6}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré traduisant la situation est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (A) at (2,1) {A};
\node (B) at (2,-1) {B};
\draw (0,0) -- (A.west) node[midway,above] {0,4};
\draw (0,0) -- (B.west) node[midway,below] {0,6};
\node (AD) at (4,1.5) {D};
\node (ADB) at (4,.5) {\evcont{D}};
\draw (A.east) -- (AD.west) node[midway,above] {0,1};
\draw (A.east) -- (ADB.west) node[midway,below] {0,9};
\node (BD) at (4,-.5) {D};
\node (BDB) at (4,-1.5) {\evcont{D}};
\draw (B.east) -- (BD.west) node[midway,above] {0,09};
\draw (B.east) -- (BDB.west) node[midway,below] {0,91};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité demandée est \proba{A$\cap$D}.
\begin{align*}
\proba{A$\cap$D} & =\probacond{D}{A}\times\proba{A}\\
& =0,1\times0,4\\
\Aboxed{\proba{A$\cap$D}& =0,04}
\end{align*}

\item D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
\proba{D} & = \proba{A$\cap$D} + \proba{B$\cap$D}\\
& = 0,04+0,6\times0,09\\
\Aboxed{\proba{D}=0,094}
\end{align*}

\item La probabilité demandée est \probacond{A}{D}.
\begin{align*}
\probacond{A}{D} & =\dfrac{\proba{A$\cap$D}}{\proba{D}}\\
& = \dfrac{0,04}{0,094}\\
\Aboxed{\probacond{A}{D} &\approx 0,425}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Les 10 tirages sont assimilés à des tirages successifs indépendants et avec remise. Chaque tirage donne deux issues seulement : succès (la pièce choisie est conforme) ou échec (elle ne l'est pas). C'est donc un schéma de Bernoulli répété 10 fois indépendamment : X suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=1-0,094=0,906$.

\item $\begin{aligned}[t]
\probavar[\geqslant]{X}{5} & =1-\probavar[<]{X}{4}\\
& = 1-\numprint{0.00010362860317}\\
\Aboxed{\probavar[\geqslant]{X}{5}& \approx \numprint{0.999896371397}}
\end{aligned}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}