\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\usepackage{multicol}
\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1 (suites)}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=x(1-x)
\]
et la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$:
\[
u_{n+1}=u_n-u_n^2.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}$.
\item Montrer que pour tout entier naturel positif $k$,
\[
\dfrac{k-1}{k^2} \leqslant \dfrac{1}{k+1}.
\]
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}.
\]
\item En déduire $\limite{n}{+\infty}{u_n}$.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2 (limites de fonctions)}

Calculer les limites de fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{x}{3}{\dfrac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}}$
\item $\limite{x}{-\infty}{\dfrac{\cos(x)-x}{\sin(x)+2x}}$
\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1+x\cos(x^2)}{1+x^2}}$
\item $\limite{x}{2}{\dfrac{5x^2-7x-6}{-3x^2+2x+8}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3 (étude de fonction)} On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\{5\}$ par:
\[
f(x)=\dfrac{3x^2-5x+2}{x-5}.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\item Calculer $\limite[x<5]{x}{5}{f(x)}$ et $\limite[x>5]{x}{5}{f(x)}$.
\item Des questions précédentes, peut-on conclure que la courbe représentative de $f$ admet des asymptotes (horizontales ou verticales) ? Justifier.

\item On cherche à déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que:
\[
f(x)= ax+b+\dfrac{c}{x-5}.
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\limite{x}{5}{(x-5)f(x)} = c$.

Déterminer alors la valeur de $c$.

\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\item Déterminer $\limite{x}{+\infty}{\big[f(x)-(3x+10)\big]}$.

Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat.

\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{3x^2-30x+23}{(x-5)^2}$.
\item En déduire un tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{document}