\begin{enumerate}
\item La d\'eriv\'ee de $f$ est : $f'(x)=3x^2-4x+1$. D'apr\`es le cours, sont discriminant est :
\[ \Delta=b^2-4ac=16-12=4,\] donc les deux racines de $f'(x)$ sont : 
\[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{1}{3}\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+2}{6}=1.\]

On en d\'eduit le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=1.5,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 2
}
{ $-\infty$ , $\frac{1}{3}$ , $1$ , $+\infty$ }
{ , + , z , - , z, + }
{ -/$-\infty$ , +/$-\frac{23}{27}$ ,  -/$-1$ , +/$+\infty$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item $f\left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^3-2\left(\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}-1=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}=\frac{1-6-18}{27}=-\frac{23}{27}$.
\item $f(1)=-1$.
\end{itemize}

\item On constate que $f$ est strictement croissante sur \intervFO{1}{+\infty}, donc sur \intervFF{1}{2}. 

De plus, $f$ est continue sur \intervFF{1}{2}, $f(1)=-1<0$ et $f(2)=1>0$. Or, $0\in\intervFF{-1}{1}$.

Ainsi, d'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe une unique valeur $\alpha\in\intervFF{1}{2}$ telle que $f(\alpha)=0$.

\item \`A l'aide de la calculatrice, on montre que $1,75 < \alpha < 1,76$.\\
Ainsi, \underline{$\alpha \approx 1,8$}.
\end{enumerate}
\newpage