\begin{enumerate}
\item $f'(x)=2ax+b-\dfrac{2dx}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\
La condition $(2)$ permet d'\'ecrire : $f'(-1)=0$, soit : \[ -2a+b+\frac{1}{2}d=0.\]
\item La condition $(1)$ permet d'\'ecrire :

\begin{enumerate}
\item[$\blacktriangleright$] $A(-1;0)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(-1)=0 \Rightarrow a-b+c+\frac{1}{2}d=0$
\item[$\blacktriangleright$] $B(0;1)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(0)=1 \Rightarrow c+d=1$
\item[$\blacktriangleright$] $C(1;2)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(1)=2 \Rightarrow a+b+c+\frac{1}{2}d=2$
\end{enumerate}

\item Nous avons alors le syst\`eme suivant :\sysautonum{(E_{*})}
\[ \systeme{-2a+b+\frac{1}{2}d=0,c+d=1,a-b+c+\frac{1}{2}d=0,a+b+c+\frac{1}{2}d=2}\]
En faisant $(E_4)-(E_3)$, on arrive \`a l'\'equation : \[ (E_4)-(E_3)\quad :\quad 2b=2\]
Ainsi, \underline{$b=1$}, d'o\`u le syst\`eme suivant :\sysautonum{(E'_{*})}
\[\systeme{-2a+\frac{1}{2}d=-1,c+d=1,a+c+\frac{1}{2}d=1} \]
En faisant $(E^\prime_3)-(E^\prime_2)$, on a :
\[ (E^\prime_3)-(E^\prime_2)\quad : \quad a-\frac{1}{2}d=0\]
Soit : \underline{$d=2a$}. L'\'equation $(E^\prime_1)$ est donc \'equivalente \`a :
\[-d+\frac{1}{2}d=-1 \]
Soit : $\underline{d=2}$ et donc $\underline{a=1}$.
L'\'equation $(E^\prime_2)$ donne alors : $c+2=1$, soit $\underline{c=-1}$.

\medskip

Finalement, on a : $\boxed{f(x)=x^2+x-1+\dfrac{2}{x^2+1}}$.
\end{enumerate}

