\exercice[style=R,N=4,verif]{D\'etermination de coefficient dans une expression}

\begin{tikzpicture}[baseline=3.2cm]
\draw[gray,dotted] (-4,-2) grid (3,6);
\draw[->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,6);
\clip (-4,-2) rectangle (3,6);
\draw[purple] plot[domain=-4:3,samples=100] (\x,{\x*\x+\x-1+2/(\x*\x+1)});
\node[purple] at (2.5,5.5) {$\mathcal{C}$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\fill (1,2) circle (2pt) node[below right] {$C$};
\node[above] at (-1,0) {$A$};
\node[below right] at (0,1) {$B$};
\end{tikzpicture}
\hfill
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-8cm}
La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre est celle d'une fonction $f$ telle que : 
\[ f(x)=ax^2+bx+c+\frac{d}{x^2+1}.\]
On sait :
\begin{itemize}
\item Condition $(1)$ : que les points $A\coord{-1}{0}$, $B\coord{0}{1}$, $C\coord{1}{2}$ appartiennent \`a $\mathcal{C}$ ;
\item Condition $(2)$ : l'axe des abscisses est tangente \`a $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimez en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ la d\'eriv\'ee $f'(x)$ de $f(x)$.

Quelle \'equation peut-on alors \'ecrire \`a partir de la condition $(2)$ ?

\item \'Ecrivez, en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$, les trois \'equations que permet d'\'etablir la condition~$(1)$.

\item Trouvez alors, \`a l'aide des 4 \'equations \'etablies, la valeur de $a$, $b$, $c$ et $d$.
\end{enumerate}
