\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est d\'efini quand $x^2-2x+1\neq0$.\\
Or, $x^2-2x+1=(x-1)^2$. 

Donc $\uline{\mathscr{D}=\R\setminus\{1\}}$ que l'on peut aussi \'ecrire :  $\uline{\mathscr{D}=\intervOO{-\infty}{1}\cup\intervOO{1}{+\infty}}$.

\item $f(x)$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec :
\begin{multicols}{2}
$u(x)=x^2-x-15$\\
$u'(x)=2x-1$

\columnbreak

$v(x)=x^2-2x+1$\\
$v'(x)=2x-2$
\end{multicols}

D'o\`u :

$\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \dfrac{(u'v-uv')(x)}{v^2(x)}\\
& = \dfrac{(2x-1)(x^2-2x+1)-(2x-2)(x^2-x-15)}{\left[(x-1)^2\right]^2}\\
& = \dfrac{2x^3-4x^2+2x-x^2+2x-1-(2x^3-2x^2-30x-2x^2+2x+30)}{(x-1)^4}\\
& = \dfrac{2x^3-5x^2+4x-1-2x^3+4x^2+28x-30}{(x-1)^4}\\
\Aboxed{f'(x)& = \dfrac{-x^2+32x-31}{(x-1)^4}}
\end{aligned}$

\item Le signe de $f'(x)$ est le m\^eme que le polyn\^ome $P(x)=-x^2+32x-31$ car son d\'enominateur est toujours positif sur $\mathscr{D}$.\\
Le discriminant de $P$ est :

\medskip

$\begin{aligned}[t]
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 32^2-4\times(-1)\times(-31)\\
\Aboxed{\Delta & = 900}
\end{aligned}$

\medskip

$\Delta>0$ donc $P$ a deux racines :

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
& = \dfrac{-32-\sqrt{900}}{-2}\\
& = \dfrac{-32-30}{-2}\\
\Aboxed{x_1 & = 31}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
& = \dfrac{-32+\sqrt{900}}{-2}\\
& = \dfrac{-32+30}{-2}\\
\Aboxed{x_2 & = 1}
\end{aligned}$
\end{multicols}

On en d\'eduit alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,1,31,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-}
\tkzTabVar{+/,-D-/ /,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\newpage