\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{2cm}}l}
u(x)=x^3 & u'(x)=3x^2\\
v(x)=x^2-3 & v'(x)=2x
\end{array}
\]
D'o\`u : 
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{3x^2(x^2-3)-x^3\times 2x}{(x^2-3)^2}\\
      & = \dfrac{3x^4-9x^2-2x^4}{(x^2-3)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{x^2(x^2-9)}{(x^2-3)^2}}
\end{align*}

\item $x^2\geqslant0$ et $(x^2-3)^2>0$. De plus,
\[
x^2-9=(x-3)(x+3)
\]
donc les racines sont $3$ et $-3$.

On en d\'eduit alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=.8]
\tkzTab[lgt=2,deltacl=1pt,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 1.5
}
{ $-5$ , $-3$ , $-\sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ , $3$ , $+5$ }
{ , + , z , - , d , - , d , - , z, +,  }
{ -/ , +/ , -D+/ /  , -D+/ / , -/ , +/  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'\'equation r\'eduite de la tangente \`a la courbe repr\'esentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est donn\'ee par la formule :
\[ y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)\]
\begin{itemize}
\item $f'\left(1\right)=\dfrac{1^2(1^2-9)}{(1^2-3)^2}=\dfrac{-8}{4}=-2$.
\item $f(1)=\dfrac{1^3}{1^2-3}=-\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
Donc, une \'equation de la tangente en 1 est : \[ y=-2(x-1)-\frac{1}{2}\]
soit : \[ \boxed{y=-2x+\frac{3}{2}}\]
\end{enumerate}