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\exercice[style=R,N=4,verif]{\'Etude compl\`ete de $f(x)= \frac{x^3+x-2}{x+1}$ avec fonction auxiliaire}

\partie{A}

On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $\R$ par : 
\[ g(x)=2x^3+3x^2+3. \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $g(0)$, $g(-1)$ et $g(-2)$.
\item \'Etudier les variations de $g$ sur $\R$.
\item Montrer qu'il existe une unique solution \`a l'\'equation $g(x)=0$ sur \intervOO{-2}{-1}. On notera cette solution $\alpha$.

Montrer que $\alpha$ est la seule solution \`a l'\'equation $g(x)=0$ sur $\R$.
\item D\'eterminer une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a 0,1 pr\`es.
\item Donner le signe de $g(x)$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\partie{B}

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\{-1\}$ par :
\[ f(x)= \frac{x^3+x-2}{x+1}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}$, o\`u $g$ est la fonction introduite dans la partie A.
\item Dresser un tableau de variation complet de $f$.
\item Calculer une valeur approch\'ee de $f(\alpha)$ \`a 0,1 pr\`es. Montrez alors que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R\setminus\{-1\}$ que l'on trouvera.
\item D\'eterminer une \'equation de la tangente \`a la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ en 0.
\end{enumerate}